Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58465 / 36131
↖ ↑ ↗
← N 62.549059°
W 19.421082°		 ← 140.80 m → N 62.549059°
W 19.418335°		 →
↑
140.80 m
↓
↑
140.80 m
↓
N 62.547793°
W 19.421082°		 ← 140.80 m →
19 825 m²		 N 62.547793°
W 19.418335°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446056365966797 y=0.275661468505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446056365966797 × 217)
    floor (0.446056365966797 × 131072)
    floor (58465.5)     		tx = 58465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275661468505859 × 217)
    floor (0.275661468505859 × 131072)
    floor (36131.5)     		ty = 36131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58465 / 36131 ti = "17/58465/36131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58465/36131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58465 ÷ 217
    58465 ÷ 131072     		x = 0.446052551269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36131 ÷ 217
    36131 ÷ 131072     		y = 0.275657653808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446052551269531 × 2 - 1) × π
    -0.107894897460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.33896182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.275657653808594 × 2 - 1) × π
    0.448684692382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.40958453332775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33896182} λ = -0.33896182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40958453332775))-π/2
    2×atan(4.09425402456748)-π/2
    2×1.33124167315957-π/2
    2.66248334631915-1.57079632675     		φ = 1.09168702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33896182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.421082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09168702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.549059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58465 KachelY 36131 -0.33896182 1.09168702 -19.421082 62.549059
    Oben rechts KachelX + 1 58466 KachelY 36131 -0.33891388 1.09168702 -19.418335 62.549059
    Unten links KachelX 58465 KachelY + 1 36132 -0.33896182 1.09166492 -19.421082 62.547793
    Unten rechts KachelX + 1 58466 KachelY + 1 36132 -0.33891388 1.09166492 -19.418335 62.547793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09168702-1.09166492) × R
    2.21000000000249e-05 × 6371000     		dl = 140.799100000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09168702-1.09166492) × R
    2.21000000000249e-05 × 6371000     		dr = 140.799100000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33896182--0.33891388) × cos(1.09168702) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.460988952122626 × 6371000     		do = 140.797891833948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33896182--0.33891388) × cos(1.09166492) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.461008563679874 × 6371000     		du = 140.803881708333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09168702)-sin(1.09166492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460988952122626-0.461008563679874)×R²
    abs(-0.33891388--0.33896182)×1.96115572481115e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.96115572481115e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.96115572481115e-05×40589641000000     		ar = 19824.6381374075m²