Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58462 / 86697
↖ ↑ ↗
← S 50.136425°
W 19.429321°		 ← 195.77 m → S 50.136425°
W 19.426575°		 →
↑
195.72 m
↓
↑
195.72 m
↓
S 50.138185°
W 19.429321°		 ← 195.76 m →
38 314 m²		 S 50.138185°
W 19.426575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446033477783203 y=0.661449432373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446033477783203 × 217)
    floor (0.446033477783203 × 131072)
    floor (58462.5)     		tx = 58462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661449432373047 × 217)
    floor (0.661449432373047 × 131072)
    floor (86697.5)     		ty = 86697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58462 / 86697 ti = "17/58462/86697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58462/86697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58462 ÷ 217
    58462 ÷ 131072     		x = 0.446029663085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86697 ÷ 217
    86697 ÷ 131072     		y = 0.661445617675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446029663085938 × 2 - 1) × π
    -0.107940673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33910563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661445617675781 × 2 - 1) × π
    -0.322891235351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.01439273286001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33910563} λ = -0.33910563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01439273286001))-π/2
    2×atan(0.362622571755293)-π/2
    2×0.347875319361636-π/2
    0.695750638723273-1.57079632675     		φ = -0.87504569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33910563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.429321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87504569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.136425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58462 KachelY 86697 -0.33910563 -0.87504569 -19.429321 -50.136425
    Oben rechts KachelX + 1 58463 KachelY 86697 -0.33905769 -0.87504569 -19.426575 -50.136425
    Unten links KachelX 58462 KachelY + 1 86698 -0.33910563 -0.87507641 -19.429321 -50.138185
    Unten rechts KachelX + 1 58463 KachelY + 1 86698 -0.33905769 -0.87507641 -19.426575 -50.138185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87504569--0.87507641) × R
    3.07200000000396e-05 × 6371000     		dl = 195.717120000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87504569--0.87507641) × R
    3.07200000000396e-05 × 6371000     		dr = 195.717120000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33910563--0.33905769) × cos(-0.87504569) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.640961788431655 × 6371000     		do = 195.766228543333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33910563--0.33905769) × cos(-0.87507641) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.64093820829315 × 6371000     		du = 195.759026562081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87504569)-sin(-0.87507641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640961788431655-0.64093820829315)×R²
    abs(-0.33905769--0.33910563)×2.35801385052303e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35801385052303e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35801385052303e-05×40589641000000     		ar = 38314.097671157m²