Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58461 / 81389
↖ ↑ ↗
← S 39.869696°
W 19.432068°		 ← 234.37 m → S 39.869696°
W 19.429321°		 →
↑
234.39 m
↓
↑
234.39 m
↓
S 39.871804°
W 19.432068°		 ← 234.36 m →
54 932 m²		 S 39.871804°
W 19.429321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446025848388672 y=0.620952606201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446025848388672 × 217)
    floor (0.446025848388672 × 131072)
    floor (58461.5)     		tx = 58461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620952606201172 × 217)
    floor (0.620952606201172 × 131072)
    floor (81389.5)     		ty = 81389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58461 / 81389 ti = "17/58461/81389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58461/81389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58461 ÷ 217
    58461 ÷ 131072     		x = 0.446022033691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81389 ÷ 217
    81389 ÷ 131072     		y = 0.620948791503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446022033691406 × 2 - 1) × π
    -0.107955932617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.33915356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620948791503906 × 2 - 1) × π
    -0.241897583007812 × 3.1415926535     		Φ = -0.75994366967675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33915356} λ = -0.33915356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.75994366967675))-π/2
    2×atan(0.467692771552907)-π/2
    2×0.437469432796986-π/2
    0.874938865593972-1.57079632675     		φ = -0.69585746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33915356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.432068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69585746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.869696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58461 KachelY 81389 -0.33915356 -0.69585746 -19.432068 -39.869696
    Oben rechts KachelX + 1 58462 KachelY 81389 -0.33910563 -0.69585746 -19.429321 -39.869696
    Unten links KachelX 58461 KachelY + 1 81390 -0.33915356 -0.69589425 -19.432068 -39.871804
    Unten rechts KachelX + 1 58462 KachelY + 1 81390 -0.33910563 -0.69589425 -19.429321 -39.871804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69585746--0.69589425) × R
    3.67900000000088e-05 × 6371000     		dl = 234.389090000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69585746--0.69589425) × R
    3.67900000000088e-05 × 6371000     		dr = 234.389090000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33915356--0.33910563) × cos(-0.69585746) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.767504314609393 × 6371000     		do = 234.366675543026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33915356--0.33910563) × cos(-0.69589425) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.767480730089345 × 6371000     		du = 234.359473726108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69585746)-sin(-0.69589425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767504314609393-0.767480730089345)×R²
    abs(-0.33910563--0.33915356)×2.35845200474705e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35845200474705e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35845200474705e-05×40589641000000     		ar = 54932.1477994211m²