Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58461 / 38697
↖ ↑ ↗
← N 59.118178°
W 19.432068°		 ← 156.73 m → N 59.118178°
W 19.429321°		 →
↑
156.73 m
↓
↑
156.73 m
↓
N 59.116768°
W 19.432068°		 ← 156.74 m →
24 565 m²		 N 59.116768°
W 19.429321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446025848388672 y=0.295238494873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446025848388672 × 217)
    floor (0.446025848388672 × 131072)
    floor (58461.5)     		tx = 58461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295238494873047 × 217)
    floor (0.295238494873047 × 131072)
    floor (38697.5)     		ty = 38697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58461 / 38697 ti = "17/58461/38697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58461/38697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58461 ÷ 217
    58461 ÷ 131072     		x = 0.446022033691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38697 ÷ 217
    38697 ÷ 131072     		y = 0.295234680175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446022033691406 × 2 - 1) × π
    -0.107955932617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.33915356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295234680175781 × 2 - 1) × π
    0.409530639648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.28657844890269
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33915356} λ = -0.33915356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28657844890269))-π/2
    2×atan(3.62037803123257)-π/2
    2×1.30130158882189-π/2
    2.60260317764379-1.57079632675     		φ = 1.03180685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33915356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.432068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03180685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.118178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58461 KachelY 38697 -0.33915356 1.03180685 -19.432068 59.118178
    Oben rechts KachelX + 1 58462 KachelY 38697 -0.33910563 1.03180685 -19.429321 59.118178
    Unten links KachelX 58461 KachelY + 1 38698 -0.33915356 1.03178225 -19.432068 59.116768
    Unten rechts KachelX + 1 58462 KachelY + 1 38698 -0.33910563 1.03178225 -19.429321 59.116768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03180685-1.03178225) × R
    2.45999999999302e-05 × 6371000     		dl = 156.726599999556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03180685-1.03178225) × R
    2.45999999999302e-05 × 6371000     		dr = 156.726599999556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33915356--0.33910563) × cos(1.03180685) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.513268994768089 × 6371000     		do = 156.732862178539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33915356--0.33910563) × cos(1.03178225) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.513290107016409 × 6371000     		du = 156.739309057544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03180685)-sin(1.03178225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.513268994768089-0.513290107016409)×R²
    abs(-0.33910563--0.33915356)×2.11122483194659e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.11122483194659e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.11122483194659e-05×40589641000000     		ar = 24564.7137974226m²