Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58455 / 29757
↖ ↑ ↗
← N 69.598762°
W 19.448548°		 ← 106.47 m → N 69.598762°
W 19.445801°		 →
↑
106.46 m
↓
↑
106.46 m
↓
N 69.597805°
W 19.448548°		 ← 106.47 m →
11 335 m²		 N 69.597805°
W 19.445801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445980072021484 y=0.227031707763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445980072021484 × 217)
    floor (0.445980072021484 × 131072)
    floor (58455.5)     		tx = 58455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227031707763672 × 217)
    floor (0.227031707763672 × 131072)
    floor (29757.5)     		ty = 29757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58455 / 29757 ti = "17/58455/29757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58455/29757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58455 ÷ 217
    58455 ÷ 131072     		x = 0.445976257324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29757 ÷ 217
    29757 ÷ 131072     		y = 0.227027893066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445976257324219 × 2 - 1) × π
    -0.108047485351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.33944119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227027893066406 × 2 - 1) × π
    0.545944213867188 × 3.1415926535     		Φ = 1.71513433150599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33944119} λ = -0.33944119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71513433150599))-π/2
    2×atan(5.55742199908851)-π/2
    2×1.39276194445093-π/2
    2.78552388890185-1.57079632675     		φ = 1.21472756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33944119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.448548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21472756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.598762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58455 KachelY 29757 -0.33944119 1.21472756 -19.448548 69.598762
    Oben rechts KachelX + 1 58456 KachelY 29757 -0.33939325 1.21472756 -19.445801 69.598762
    Unten links KachelX 58455 KachelY + 1 29758 -0.33944119 1.21471085 -19.448548 69.597805
    Unten rechts KachelX + 1 58456 KachelY + 1 29758 -0.33939325 1.21471085 -19.445801 69.597805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21472756-1.21471085) × R
    1.67100000001419e-05 × 6371000     		dl = 106.459410000904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21472756-1.21471085) × R
    1.67100000001419e-05 × 6371000     		dr = 106.459410000904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33944119--0.33939325) × cos(1.21472756) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.34859229195791 × 6371000     		do = 106.469058729594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33944119--0.33939325) × cos(1.21471085) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.348607953765474 × 6371000     		du = 106.473842248759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21472756)-sin(1.21471085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34859229195791-0.348607953765474)×R²
    abs(-0.33939325--0.33944119)×1.56618075638493e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.56618075638493e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.56618075638493e-05×40589641000000     		ar = 11334.8878013676m²