Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58454 / 36246
↖ ↑ ↗
← N 62.403096°
W 19.451294°		 ← 141.46 m → N 62.403096°
W 19.448548°		 →
↑
141.44 m
↓
↑
141.44 m
↓
N 62.401824°
W 19.451294°		 ← 141.46 m →
20 008 m²		 N 62.401824°
W 19.448548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445972442626953 y=0.276538848876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445972442626953 × 217)
    floor (0.445972442626953 × 131072)
    floor (58454.5)     		tx = 58454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276538848876953 × 217)
    floor (0.276538848876953 × 131072)
    floor (36246.5)     		ty = 36246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58454 / 36246 ti = "17/58454/36246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58454/36246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58454 ÷ 217
    58454 ÷ 131072     		x = 0.445968627929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36246 ÷ 217
    36246 ÷ 131072     		y = 0.276535034179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445968627929688 × 2 - 1) × π
    -0.108062744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33948912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276535034179688 × 2 - 1) × π
    0.446929931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.40407178987144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33948912} λ = -0.33948912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40407178987144))-π/2
    2×atan(4.07174555120802)-π/2
    2×1.32996790449262-π/2
    2.65993580898525-1.57079632675     		φ = 1.08913948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33948912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.451294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08913948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.403096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58454 KachelY 36246 -0.33948912 1.08913948 -19.451294 62.403096
    Oben rechts KachelX + 1 58455 KachelY 36246 -0.33944119 1.08913948 -19.448548 62.403096
    Unten links KachelX 58454 KachelY + 1 36247 -0.33948912 1.08911728 -19.451294 62.401824
    Unten rechts KachelX + 1 58455 KachelY + 1 36247 -0.33944119 1.08911728 -19.448548 62.401824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08913948-1.08911728) × R
    2.22000000000833e-05 × 6371000     		dl = 141.43620000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08913948-1.08911728) × R
    2.22000000000833e-05 × 6371000     		dr = 141.43620000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33948912--0.33944119) × cos(1.08913948) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.463248155739597 × 6371000     		do = 141.458397230322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33948912--0.33944119) × cos(1.08911728) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.463267829900547 × 6371000     		du = 141.464404972048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08913948)-sin(1.08911728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463248155739597-0.463267829900547)×R²
    abs(-0.33944119--0.33948912)×1.96741609495565e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.96741609495565e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.96741609495565e-05×40589641000000     		ar = 20007.7630193919m²