Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58454 / 36245
↖ ↑ ↗
← N 62.404368°
W 19.451294°		 ← 141.45 m → N 62.404368°
W 19.448548°		 →
↑
141.50 m
↓
↑
141.50 m
↓
N 62.403096°
W 19.451294°		 ← 141.46 m →
20 016 m²		 N 62.403096°
W 19.448548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445972442626953 y=0.276531219482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445972442626953 × 217)
    floor (0.445972442626953 × 131072)
    floor (58454.5)     		tx = 58454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276531219482422 × 217)
    floor (0.276531219482422 × 131072)
    floor (36245.5)     		ty = 36245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58454 / 36245 ti = "17/58454/36245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58454/36245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58454 ÷ 217
    58454 ÷ 131072     		x = 0.445968627929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36245 ÷ 217
    36245 ÷ 131072     		y = 0.276527404785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445968627929688 × 2 - 1) × π
    -0.108062744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33948912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276527404785156 × 2 - 1) × π
    0.446945190429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.40411972677106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33948912} λ = -0.33948912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40411972677106))-π/2
    2×atan(4.07194074274419)-π/2
    2×1.3299790075969-π/2
    2.6599580151938-1.57079632675     		φ = 1.08916169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33948912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.451294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08916169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.404368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58454 KachelY 36245 -0.33948912 1.08916169 -19.451294 62.404368
    Oben rechts KachelX + 1 58455 KachelY 36245 -0.33944119 1.08916169 -19.448548 62.404368
    Unten links KachelX 58454 KachelY + 1 36246 -0.33948912 1.08913948 -19.451294 62.403096
    Unten rechts KachelX + 1 58455 KachelY + 1 36246 -0.33944119 1.08913948 -19.448548 62.403096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08916169-1.08913948) × R
    2.22100000000225e-05 × 6371000     		dl = 141.499910000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08916169-1.08913948) × R
    2.22100000000225e-05 × 6371000     		dr = 141.499910000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33948912--0.33944119) × cos(1.08916169) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.463228472487952 × 6371000     		do = 141.452386712643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33948912--0.33944119) × cos(1.08913948) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.463248155739597 × 6371000     		du = 141.458397230322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08916169)-sin(1.08913948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463228472487952-0.463248155739597)×R²
    abs(-0.33944119--0.33948912)×1.96832516456413e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.96832516456413e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.96832516456413e-05×40589641000000     		ar = 20015.9252336546m²