Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58453 / 36244
↖ ↑ ↗
← N 62.405640°
W 19.454041°		 ← 141.48 m → N 62.405640°
W 19.451294°		 →
↑
141.44 m
↓
↑
141.44 m
↓
N 62.404368°
W 19.454041°		 ← 141.48 m →
20 010 m²		 N 62.404368°
W 19.451294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445964813232422 y=0.276523590087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445964813232422 × 217)
    floor (0.445964813232422 × 131072)
    floor (58453.5)     		tx = 58453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276523590087891 × 217)
    floor (0.276523590087891 × 131072)
    floor (36244.5)     		ty = 36244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58453 / 36244 ti = "17/58453/36244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58453/36244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58453 ÷ 217
    58453 ÷ 131072     		x = 0.445960998535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36244 ÷ 217
    36244 ÷ 131072     		y = 0.276519775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445960998535156 × 2 - 1) × π
    -0.108078002929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.33953706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276519775390625 × 2 - 1) × π
    0.44696044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.40416766367068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33953706} λ = -0.33953706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40416766367068))-π/2
    2×atan(4.07213594363746)-π/2
    2×1.32999011022948-π/2
    2.65998022045897-1.57079632675     		φ = 1.08918389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33953706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.454041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08918389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.405640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58453 KachelY 36244 -0.33953706 1.08918389 -19.454041 62.405640
    Oben rechts KachelX + 1 58454 KachelY 36244 -0.33948912 1.08918389 -19.451294 62.405640
    Unten links KachelX 58453 KachelY + 1 36245 -0.33953706 1.08916169 -19.454041 62.404368
    Unten rechts KachelX + 1 58454 KachelY + 1 36245 -0.33948912 1.08916169 -19.451294 62.404368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08918389-1.08916169) × R
    2.21999999998612e-05 × 6371000     		dl = 141.436199999116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08918389-1.08916169) × R
    2.21999999998612e-05 × 6371000     		dr = 141.436199999116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33953706--0.33948912) × cos(1.08918389) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.463208797870295 × 6371000     		do = 141.475889864116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33953706--0.33948912) × cos(1.08916169) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.463228472487952 × 6371000     		du = 141.481898998773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08918389)-sin(1.08916169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463208797870295-0.463228472487952)×R²
    abs(-0.33948912--0.33953706)×1.96746176569507e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.96746176569507e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.96746176569507e-05×40589641000000     		ar = 20010.2372093194m²