Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58452 / 29581
↖ ↑ ↗
← N 69.766607°
W 19.456787°		 ← 105.63 m → N 69.766607°
W 19.454041°		 →
↑
105.63 m
↓
↑
105.63 m
↓
N 69.765657°
W 19.456787°		 ← 105.63 m →
11 158 m²		 N 69.765657°
W 19.454041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445957183837891 y=0.225688934326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445957183837891 × 217)
    floor (0.445957183837891 × 131072)
    floor (58452.5)     		tx = 58452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225688934326172 × 217)
    floor (0.225688934326172 × 131072)
    floor (29581.5)     		ty = 29581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58452 / 29581 ti = "17/58452/29581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58452/29581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58452 ÷ 217
    58452 ÷ 131072     		x = 0.445953369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29581 ÷ 217
    29581 ÷ 131072     		y = 0.225685119628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445953369140625 × 2 - 1) × π
    -0.10809326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33958500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225685119628906 × 2 - 1) × π
    0.548629760742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.72357122583912
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33958500} λ = -0.33958500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72357122583912))-π/2
    2×atan(5.60450773062905)-π/2
    2×1.39422666160755-π/2
    2.7884533232151-1.57079632675     		φ = 1.21765700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33958500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.456787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21765700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.766607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58452 KachelY 29581 -0.33958500 1.21765700 -19.456787 69.766607
    Oben rechts KachelX + 1 58453 KachelY 29581 -0.33953706 1.21765700 -19.454041 69.766607
    Unten links KachelX 58452 KachelY + 1 29582 -0.33958500 1.21764042 -19.456787 69.765657
    Unten rechts KachelX + 1 58453 KachelY + 1 29582 -0.33953706 1.21764042 -19.454041 69.765657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21765700-1.21764042) × R
    1.65800000000438e-05 × 6371000     		dl = 105.631180000279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21765700-1.21764042) × R
    1.65800000000438e-05 × 6371000     		dr = 105.631180000279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33958500--0.33953706) × cos(1.21765700) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.345845110847916 × 6371000     		do = 105.62999890616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33958500--0.33953706) × cos(1.21764042) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.345860667675396 × 6371000     		du = 105.634750361705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21765700)-sin(1.21764042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345845110847916-0.345860667675396)×R²
    abs(-0.33953706--0.33958500)×1.55568274801676e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.55568274801676e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.55568274801676e-05×40589641000000     		ar = 11158.0723790786m²