Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58450 / 86226
↖ ↑ ↗
← S 49.300054°
W 19.462280°		 ← 199.17 m → S 49.300054°
W 19.459533°		 →
↑
199.16 m
↓
↑
199.16 m
↓
S 49.301845°
W 19.462280°		 ← 199.16 m →
39 665 m²		 S 49.301845°
W 19.459533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445941925048828 y=0.657855987548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445941925048828 × 217)
    floor (0.445941925048828 × 131072)
    floor (58450.5)     		tx = 58450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657855987548828 × 217)
    floor (0.657855987548828 × 131072)
    floor (86226.5)     		ty = 86226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58450 / 86226 ti = "17/58450/86226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58450/86226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58450 ÷ 217
    58450 ÷ 131072     		x = 0.445938110351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86226 ÷ 217
    86226 ÷ 131072     		y = 0.657852172851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445938110351562 × 2 - 1) × π
    -0.108123779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33968087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657852172851562 × 2 - 1) × π
    -0.315704345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.991814453138962
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33968087} λ = -0.33968087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.991814453138962))-π/2
    2×atan(0.370903093818739)-π/2
    2×0.355174033187901-π/2
    0.710348066375801-1.57079632675     		φ = -0.86044826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33968087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.462280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86044826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.300054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58450 KachelY 86226 -0.33968087 -0.86044826 -19.462280 -49.300054
    Oben rechts KachelX + 1 58451 KachelY 86226 -0.33963293 -0.86044826 -19.459533 -49.300054
    Unten links KachelX 58450 KachelY + 1 86227 -0.33968087 -0.86047952 -19.462280 -49.301845
    Unten rechts KachelX + 1 58451 KachelY + 1 86227 -0.33963293 -0.86047952 -19.459533 -49.301845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86044826--0.86047952) × R
    3.12600000000884e-05 × 6371000     		dl = 199.157460000563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86044826--0.86047952) × R
    3.12600000000884e-05 × 6371000     		dr = 199.157460000563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33968087--0.33963293) × cos(-0.86044826) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.652097692118763 × 6371000     		do = 199.167420167765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33968087--0.33963293) × cos(-0.86047952) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.652073992501671 × 6371000     		du = 199.160181694677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86044826)-sin(-0.86047952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652097692118763-0.652073992501671)×R²
    abs(-0.33963293--0.33968087)×2.36996170929205e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36996170929205e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36996170929205e-05×40589641000000     		ar = 39664.9567207031m²