Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58450 / 29758
↖ ↑ ↗
← N 69.597805°
W 19.462280°		 ← 106.47 m → N 69.597805°
W 19.459533°		 →
↑
106.46 m
↓
↑
106.46 m
↓
N 69.596848°
W 19.462280°		 ← 106.48 m →
11 335 m²		 N 69.596848°
W 19.459533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445941925048828 y=0.227039337158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445941925048828 × 217)
    floor (0.445941925048828 × 131072)
    floor (58450.5)     		tx = 58450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227039337158203 × 217)
    floor (0.227039337158203 × 131072)
    floor (29758.5)     		ty = 29758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58450 / 29758 ti = "17/58450/29758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58450/29758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58450 ÷ 217
    58450 ÷ 131072     		x = 0.445938110351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29758 ÷ 217
    29758 ÷ 131072     		y = 0.227035522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445938110351562 × 2 - 1) × π
    -0.108123779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33968087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227035522460938 × 2 - 1) × π
    0.545928955078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.71508639460637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33968087} λ = -0.33968087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71508639460637))-π/2
    2×atan(5.55715559989322)-π/2
    2×1.39275358904642-π/2
    2.78550717809283-1.57079632675     		φ = 1.21471085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33968087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.462280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21471085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.597805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58450 KachelY 29758 -0.33968087 1.21471085 -19.462280 69.597805
    Oben rechts KachelX + 1 58451 KachelY 29758 -0.33963293 1.21471085 -19.459533 69.597805
    Unten links KachelX 58450 KachelY + 1 29759 -0.33968087 1.21469414 -19.462280 69.596848
    Unten rechts KachelX + 1 58451 KachelY + 1 29759 -0.33963293 1.21469414 -19.459533 69.596848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21471085-1.21469414) × R
    1.67099999999198e-05 × 6371000     		dl = 106.459409999489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21471085-1.21469414) × R
    1.67099999999198e-05 × 6371000     		dr = 106.459409999489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33968087--0.33963293) × cos(1.21471085) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.348607953765474 × 6371000     		do = 106.473842248759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33968087--0.33963293) × cos(1.21469414) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.348623615475698 × 6371000     		du = 106.478625738194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21471085)-sin(1.21469414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348607953765474-0.348623615475698)×R²
    abs(-0.33963293--0.33968087)×1.56617102238799e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.56617102238799e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.56617102238799e-05×40589641000000     		ar = 11335.3970499761m²