Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58449 / 29762
↖ ↑ ↗
← N 69.593975°
W 19.465027°		 ← 106.49 m → N 69.593975°
W 19.462280°		 →
↑
106.46 m
↓
↑
106.46 m
↓
N 69.593017°
W 19.465027°		 ← 106.50 m →
11 337 m²		 N 69.593017°
W 19.462280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445934295654297 y=0.227069854736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445934295654297 × 217)
    floor (0.445934295654297 × 131072)
    floor (58449.5)     		tx = 58449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227069854736328 × 217)
    floor (0.227069854736328 × 131072)
    floor (29762.5)     		ty = 29762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58449 / 29762 ti = "17/58449/29762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58449/29762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58449 ÷ 217
    58449 ÷ 131072     		x = 0.445930480957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29762 ÷ 217
    29762 ÷ 131072     		y = 0.227066040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445930480957031 × 2 - 1) × π
    -0.108139038085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.33972881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227066040039062 × 2 - 1) × π
    0.545867919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71489464700789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33972881} λ = -0.33972881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71489464700789))-π/2
    2×atan(5.55609013080639)-π/2
    2×1.39272016367409-π/2
    2.78544032734817-1.57079632675     		φ = 1.21464400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33972881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.465027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21464400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.593975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58449 KachelY 29762 -0.33972881 1.21464400 -19.465027 69.593975
    Oben rechts KachelX + 1 58450 KachelY 29762 -0.33968087 1.21464400 -19.462280 69.593975
    Unten links KachelX 58449 KachelY + 1 29763 -0.33972881 1.21462729 -19.465027 69.593017
    Unten rechts KachelX + 1 58450 KachelY + 1 29763 -0.33968087 1.21462729 -19.462280 69.593017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21464400-1.21462729) × R
    1.67100000001419e-05 × 6371000     		dl = 106.459410000904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21464400-1.21462729) × R
    1.67100000001419e-05 × 6371000     		dr = 106.459410000904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33972881--0.33968087) × cos(1.21464400) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34867060939474 × 6371000     		do = 106.49297889057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33972881--0.33968087) × cos(1.21462729) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348686270715504 × 6371000     		du = 106.497762261053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21464400)-sin(1.21462729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34867060939474-0.348686270715504)×R²
    abs(-0.33968087--0.33972881)×1.56613207631384e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56613207631384e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56613207631384e-05×40589641000000     		ar = 11337.4343194094m²