Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58447 / 36018
↖ ↑ ↗
← N 62.691789°
W 19.470520°		 ← 140.12 m → N 62.691789°
W 19.467773°		 →
↑
140.10 m
↓
↑
140.10 m
↓
N 62.690530°
W 19.470520°		 ← 140.13 m →
19 631 m²		 N 62.690530°
W 19.467773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445919036865234 y=0.274799346923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445919036865234 × 217)
    floor (0.445919036865234 × 131072)
    floor (58447.5)     		tx = 58447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274799346923828 × 217)
    floor (0.274799346923828 × 131072)
    floor (36018.5)     		ty = 36018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58447 / 36018 ti = "17/58447/36018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58447/36018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58447 ÷ 217
    58447 ÷ 131072     		x = 0.445915222167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36018 ÷ 217
    36018 ÷ 131072     		y = 0.274795532226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445915222167969 × 2 - 1) × π
    -0.108169555664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.33982468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274795532226562 × 2 - 1) × π
    0.450408935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.41500140298482
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33982468} λ = -0.33982468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41500140298482))-π/2
    2×atan(4.11649224134532)-π/2
    2×1.33248723432033-π/2
    2.66497446864065-1.57079632675     		φ = 1.09417814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33982468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.470520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09417814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.691789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58447 KachelY 36018 -0.33982468 1.09417814 -19.470520 62.691789
    Oben rechts KachelX + 1 58448 KachelY 36018 -0.33977674 1.09417814 -19.467773 62.691789
    Unten links KachelX 58447 KachelY + 1 36019 -0.33982468 1.09415615 -19.470520 62.690530
    Unten rechts KachelX + 1 58448 KachelY + 1 36019 -0.33977674 1.09415615 -19.467773 62.690530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09417814-1.09415615) × R
    2.19899999998052e-05 × 6371000     		dl = 140.098289998759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09417814-1.09415615) × R
    2.19899999998052e-05 × 6371000     		dr = 140.098289998759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33982468--0.33977674) × cos(1.09417814) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.458776889513106 × 6371000     		do = 140.122270974347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33982468--0.33977674) × cos(1.09415615) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.458796428649635 × 6371000     		du = 140.12823872958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09417814)-sin(1.09415615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458776889513106-0.458796428649635)×R²
    abs(-0.33977674--0.33982468)×1.95391365291897e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95391365291897e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95391365291897e-05×40589641000000     		ar = 19631.3085911695m²