Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58445 / 38735
↖ ↑ ↗
← N 59.064566°
W 19.476013°		 ← 157.01 m → N 59.064566°
W 19.473267°		 →
↑
157.05 m
↓
↑
157.05 m
↓
N 59.063154°
W 19.476013°		 ← 157.02 m →
24 658 m²		 N 59.063154°
W 19.473267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445903778076172 y=0.295528411865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445903778076172 × 217)
    floor (0.445903778076172 × 131072)
    floor (58445.5)     		tx = 58445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295528411865234 × 217)
    floor (0.295528411865234 × 131072)
    floor (38735.5)     		ty = 38735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58445 / 38735 ti = "17/58445/38735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58445/38735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58445 ÷ 217
    58445 ÷ 131072     		x = 0.445899963378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38735 ÷ 217
    38735 ÷ 131072     		y = 0.295524597167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445899963378906 × 2 - 1) × π
    -0.108200073242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.33992056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295524597167969 × 2 - 1) × π
    0.408950805664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.28475684671712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33992056} λ = -0.33992056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28475684671712))-π/2
    2×atan(3.61378914568443)-π/2
    2×1.30083373731698-π/2
    2.60166747463395-1.57079632675     		φ = 1.03087115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33992056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.476013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03087115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.064566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58445 KachelY 38735 -0.33992056 1.03087115 -19.476013 59.064566
    Oben rechts KachelX + 1 58446 KachelY 38735 -0.33987262 1.03087115 -19.473267 59.064566
    Unten links KachelX 58445 KachelY + 1 38736 -0.33992056 1.03084650 -19.476013 59.063154
    Unten rechts KachelX + 1 58446 KachelY + 1 38736 -0.33987262 1.03084650 -19.473267 59.063154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03087115-1.03084650) × R
    2.46500000000704e-05 × 6371000     		dl = 157.045150000449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03087115-1.03084650) × R
    2.46500000000704e-05 × 6371000     		dr = 157.045150000449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33992056--0.33987262) × cos(1.03087115) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.51407181370139 × 6371000     		do = 157.010764112786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33992056--0.33987262) × cos(1.03084650) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.514092957012412 × 6371000     		du = 157.017221824201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03087115)-sin(1.03084650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51407181370139-0.514092957012412)×R²
    abs(-0.33987262--0.33992056)×2.11433110218762e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.11433110218762e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.11433110218762e-05×40589641000000     		ar = 24658.2860790972m²