Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58443 / 86701
↖ ↑ ↗
← S 50.143466°
W 19.481506°		 ← 195.74 m → S 50.143466°
W 19.478760°		 →
↑
195.72 m
↓
↑
195.72 m
↓
S 50.145226°
W 19.481506°		 ← 195.73 m →
38 308 m²		 S 50.145226°
W 19.478760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445888519287109 y=0.661479949951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445888519287109 × 217)
    floor (0.445888519287109 × 131072)
    floor (58443.5)     		tx = 58443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661479949951172 × 217)
    floor (0.661479949951172 × 131072)
    floor (86701.5)     		ty = 86701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58443 / 86701 ti = "17/58443/86701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58443/86701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58443 ÷ 217
    58443 ÷ 131072     		x = 0.445884704589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86701 ÷ 217
    86701 ÷ 131072     		y = 0.661476135253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445884704589844 × 2 - 1) × π
    -0.108230590820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.34001643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661476135253906 × 2 - 1) × π
    -0.322952270507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.01458448045849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34001643} λ = -0.34001643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01458448045849))-π/2
    2×atan(0.362553046413876)-π/2
    2×0.347813872441822-π/2
    0.695627744883643-1.57079632675     		φ = -0.87516858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34001643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.481506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87516858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.143466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58443 KachelY 86701 -0.34001643 -0.87516858 -19.481506 -50.143466
    Oben rechts KachelX + 1 58444 KachelY 86701 -0.33996849 -0.87516858 -19.478760 -50.143466
    Unten links KachelX 58443 KachelY + 1 86702 -0.34001643 -0.87519930 -19.481506 -50.145226
    Unten rechts KachelX + 1 58444 KachelY + 1 86702 -0.33996849 -0.87519930 -19.478760 -50.145226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87516858--0.87519930) × R
    3.07200000000396e-05 × 6371000     		dl = 195.717120000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87516858--0.87519930) × R
    3.07200000000396e-05 × 6371000     		dr = 195.717120000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34001643--0.33996849) × cos(-0.87516858) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.640867456572017 × 6371000     		do = 195.737417165298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34001643--0.33996849) × cos(-0.87519930) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.640843874013988 × 6371000     		du = 195.730214445061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87516858)-sin(-0.87519930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640867456572017-0.640843874013988)×R²
    abs(-0.33996849--0.34001643)×2.35825580293669e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35825580293669e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35825580293669e-05×40589641000000     		ar = 38308.4587190887m²