Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58443 / 38740
↖ ↑ ↗
← N 59.057506°
W 19.481506°		 ← 157.04 m → N 59.057506°
W 19.478760°		 →
↑
157.05 m
↓
↑
157.05 m
↓
N 59.056093°
W 19.481506°		 ← 157.05 m →
24 663 m²		 N 59.056093°
W 19.478760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445888519287109 y=0.295566558837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445888519287109 × 217)
    floor (0.445888519287109 × 131072)
    floor (58443.5)     		tx = 58443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295566558837891 × 217)
    floor (0.295566558837891 × 131072)
    floor (38740.5)     		ty = 38740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58443 / 38740 ti = "17/58443/38740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58443/38740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58443 ÷ 217
    58443 ÷ 131072     		x = 0.445884704589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38740 ÷ 217
    38740 ÷ 131072     		y = 0.295562744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445884704589844 × 2 - 1) × π
    -0.108230590820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.34001643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295562744140625 × 2 - 1) × π
    0.40887451171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.28451716221902
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34001643} λ = -0.34001643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28451716221902))-π/2
    2×atan(3.61292308024219)-π/2
    2×1.30077212346124-π/2
    2.60154424692249-1.57079632675     		φ = 1.03074792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34001643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.481506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03074792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.057506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58443 KachelY 38740 -0.34001643 1.03074792 -19.481506 59.057506
    Oben rechts KachelX + 1 58444 KachelY 38740 -0.33996849 1.03074792 -19.478760 59.057506
    Unten links KachelX 58443 KachelY + 1 38741 -0.34001643 1.03072327 -19.481506 59.056093
    Unten rechts KachelX + 1 58444 KachelY + 1 38741 -0.33996849 1.03072327 -19.478760 59.056093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03074792-1.03072327) × R
    2.46500000000704e-05 × 6371000     		dl = 157.045150000449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03074792-1.03072327) × R
    2.46500000000704e-05 × 6371000     		dr = 157.045150000449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34001643--0.33996849) × cos(1.03074792) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.51417750997895 × 6371000     		do = 157.043046476575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34001643--0.33996849) × cos(1.03072327) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.514198651728225 × 6371000     		du = 157.049503710992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03074792)-sin(1.03072327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51417750997895-0.514198651728225)×R²
    abs(-0.33996849--0.34001643)×2.11417492745891e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.11417492745891e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.11417492745891e-05×40589641000000     		ar = 24663.3558303414m²