Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58441 / 38737
↖ ↑ ↗
← N 59.061742°
W 19.486999°		 ← 156.99 m → N 59.061742°
W 19.484253°		 →
↑
157.05 m
↓
↑
157.05 m
↓
N 59.060330°
W 19.486999°		 ← 157 m →
24 655 m²		 N 59.060330°
W 19.484253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445873260498047 y=0.295543670654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445873260498047 × 217)
    floor (0.445873260498047 × 131072)
    floor (58441.5)     		tx = 58441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295543670654297 × 217)
    floor (0.295543670654297 × 131072)
    floor (38737.5)     		ty = 38737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58441 / 38737 ti = "17/58441/38737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58441/38737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58441 ÷ 217
    58441 ÷ 131072     		x = 0.445869445800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38737 ÷ 217
    38737 ÷ 131072     		y = 0.295539855957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445869445800781 × 2 - 1) × π
    -0.108261108398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.34011230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295539855957031 × 2 - 1) × π
    0.408920288085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.28466097291788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34011230} λ = -0.34011230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28466097291788))-π/2
    2×atan(3.61344269459744)-π/2
    2×1.30080909329467-π/2
    2.60161818658935-1.57079632675     		φ = 1.03082186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34011230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.486999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03082186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.061742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58441 KachelY 38737 -0.34011230 1.03082186 -19.486999 59.061742
    Oben rechts KachelX + 1 58442 KachelY 38737 -0.34006437 1.03082186 -19.484253 59.061742
    Unten links KachelX 58441 KachelY + 1 38738 -0.34011230 1.03079721 -19.486999 59.060330
    Unten rechts KachelX + 1 58442 KachelY + 1 38738 -0.34006437 1.03079721 -19.484253 59.060330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03082186-1.03079721) × R
    2.46500000000704e-05 × 6371000     		dl = 157.045150000449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03082186-1.03079721) × R
    2.46500000000704e-05 × 6371000     		dr = 157.045150000449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34011230--0.34006437) × cos(1.03082186) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.514114091433841 × 6371000     		do = 156.990922611758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34011230--0.34006437) × cos(1.03079721) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.514135234120228 × 6371000     		du = 156.997378785392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03082186)-sin(1.03079721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514114091433841-0.514135234120228)×R²
    abs(-0.34006437--0.34011230)×2.11426863868658e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.11426863868658e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.11426863868658e-05×40589641000000     		ar = 24655.1699469975m²