Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58441 / 35892
↖ ↑ ↗
← N 62.850133°
W 19.486999°		 ← 139.34 m → N 62.850133°
W 19.484253°		 →
↑
139.33 m
↓
↑
139.33 m
↓
N 62.848880°
W 19.486999°		 ← 139.35 m →
19 416 m²		 N 62.848880°
W 19.484253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445873260498047 y=0.273838043212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445873260498047 × 217)
    floor (0.445873260498047 × 131072)
    floor (58441.5)     		tx = 58441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273838043212891 × 217)
    floor (0.273838043212891 × 131072)
    floor (35892.5)     		ty = 35892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58441 / 35892 ti = "17/58441/35892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58441/35892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58441 ÷ 217
    58441 ÷ 131072     		x = 0.445869445800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35892 ÷ 217
    35892 ÷ 131072     		y = 0.273834228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445869445800781 × 2 - 1) × π
    -0.108261108398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.34011230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273834228515625 × 2 - 1) × π
    0.45233154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.42104145233694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34011230} λ = -0.34011230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42104145233694))-π/2
    2×atan(4.14143129838912)-π/2
    2×1.33386903876014-π/2
    2.66773807752028-1.57079632675     		φ = 1.09694175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34011230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.486999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09694175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.850133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58441 KachelY 35892 -0.34011230 1.09694175 -19.486999 62.850133
    Oben rechts KachelX + 1 58442 KachelY 35892 -0.34006437 1.09694175 -19.484253 62.850133
    Unten links KachelX 58441 KachelY + 1 35893 -0.34011230 1.09691988 -19.486999 62.848880
    Unten rechts KachelX + 1 58442 KachelY + 1 35893 -0.34006437 1.09691988 -19.484253 62.848880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09694175-1.09691988) × R
    2.18700000000904e-05 × 6371000     		dl = 139.333770000576m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09694175-1.09691988) × R
    2.18700000000904e-05 × 6371000     		dr = 139.333770000576m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34011230--0.34006437) × cos(1.09694175) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.456319530869526 × 6371000     		do = 139.34265827489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34011230--0.34006437) × cos(1.09691988) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.456338991035971 × 6371000     		du = 139.34860067082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09694175)-sin(1.09691988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456319530869526-0.456338991035971)×R²
    abs(-0.34006437--0.34011230)×1.94601664449401e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.94601664449401e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.94601664449401e-05×40589641000000     		ar = 19415.5518882427m²