Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58440 / 38736
↖ ↑ ↗
← N 59.063154°
W 19.489746°		 ← 157.02 m → N 59.063154°
W 19.486999°		 →
↑
156.98 m
↓
↑
156.98 m
↓
N 59.061742°
W 19.489746°		 ← 157.02 m →
24 649 m²		 N 59.061742°
W 19.486999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445865631103516 y=0.295536041259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445865631103516 × 217)
    floor (0.445865631103516 × 131072)
    floor (58440.5)     		tx = 58440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295536041259766 × 217)
    floor (0.295536041259766 × 131072)
    floor (38736.5)     		ty = 38736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58440 / 38736 ti = "17/58440/38736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58440/38736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58440 ÷ 217
    58440 ÷ 131072     		x = 0.44586181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38736 ÷ 217
    38736 ÷ 131072     		y = 0.2955322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44586181640625 × 2 - 1) × π
    -0.1082763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34016024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2955322265625 × 2 - 1) × π
    0.408935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2847089098175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34016024} λ = -0.34016024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2847089098175))-π/2
    2×atan(3.61361591598899)-π/2
    2×1.30082141555915-π/2
    2.60164283111829-1.57079632675     		φ = 1.03084650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34016024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.489746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03084650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.063154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58440 KachelY 38736 -0.34016024 1.03084650 -19.489746 59.063154
    Oben rechts KachelX + 1 58441 KachelY 38736 -0.34011230 1.03084650 -19.486999 59.063154
    Unten links KachelX 58440 KachelY + 1 38737 -0.34016024 1.03082186 -19.489746 59.061742
    Unten rechts KachelX + 1 58441 KachelY + 1 38737 -0.34011230 1.03082186 -19.486999 59.061742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03084650-1.03082186) × R
    2.46399999999092e-05 × 6371000     		dl = 156.981439999421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03084650-1.03082186) × R
    2.46399999999092e-05 × 6371000     		dr = 156.981439999421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34016024--0.34011230) × cos(1.03084650) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.514092957012412 × 6371000     		do = 157.017221824383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34016024--0.34011230) × cos(1.03082186) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.514114091433841 × 6371000     		du = 157.023676820687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03084650)-sin(1.03082186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514092957012412-0.514114091433841)×R²
    abs(-0.34011230--0.34016024)×2.11344214292586e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11344214292586e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11344214292586e-05×40589641000000     		ar = 24649.2962453582m²