Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58439 / 38742
↖ ↑ ↗
← N 59.054681°
W 19.492493°		 ← 157.06 m → N 59.054681°
W 19.489746°		 →
↑
157.05 m
↓
↑
157.05 m
↓
N 59.053269°
W 19.492493°		 ← 157.06 m →
24 665 m²		 N 59.053269°
W 19.489746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445858001708984 y=0.295581817626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445858001708984 × 217)
    floor (0.445858001708984 × 131072)
    floor (58439.5)     		tx = 58439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295581817626953 × 217)
    floor (0.295581817626953 × 131072)
    floor (38742.5)     		ty = 38742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58439 / 38742 ti = "17/58439/38742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58439/38742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58439 ÷ 217
    58439 ÷ 131072     		x = 0.445854187011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38742 ÷ 217
    38742 ÷ 131072     		y = 0.295578002929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445854187011719 × 2 - 1) × π
    -0.108291625976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.34020818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295578002929688 × 2 - 1) × π
    0.408843994140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28442128841978
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34020818} λ = -0.34020818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28442128841978))-π/2
    2×atan(3.6125767121842)-π/2
    2×1.30074747437215-π/2
    2.6014949487443-1.57079632675     		φ = 1.03069862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34020818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.492493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03069862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.054681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58439 KachelY 38742 -0.34020818 1.03069862 -19.492493 59.054681
    Oben rechts KachelX + 1 58440 KachelY 38742 -0.34016024 1.03069862 -19.489746 59.054681
    Unten links KachelX 58439 KachelY + 1 38743 -0.34020818 1.03067397 -19.492493 59.053269
    Unten rechts KachelX + 1 58440 KachelY + 1 38743 -0.34016024 1.03067397 -19.489746 59.053269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03069862-1.03067397) × R
    2.46499999998484e-05 × 6371000     		dl = 157.045149999034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03069862-1.03067397) × R
    2.46499999998484e-05 × 6371000     		dr = 157.045149999034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34020818--0.34016024) × cos(1.03069862) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.514219793165061 × 6371000     		do = 157.055960850165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34020818--0.34016024) × cos(1.03067397) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.514240934289445 × 6371000     		du = 157.062417893724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03069862)-sin(1.03067397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514219793165061-0.514240934289445)×R²
    abs(-0.34016024--0.34020818)×2.11411243842274e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11411243842274e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11411243842274e-05×40589641000000     		ar = 24665.3839548524m²