Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58439 / 36249
↖ ↑ ↗
← N 62.399278°
W 19.492493°		 ← 141.51 m → N 62.399278°
W 19.489746°		 →
↑
141.50 m
↓
↑
141.50 m
↓
N 62.398006°
W 19.492493°		 ← 141.51 m →
20 024 m²		 N 62.398006°
W 19.489746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445858001708984 y=0.276561737060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445858001708984 × 217)
    floor (0.445858001708984 × 131072)
    floor (58439.5)     		tx = 58439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276561737060547 × 217)
    floor (0.276561737060547 × 131072)
    floor (36249.5)     		ty = 36249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58439 / 36249 ti = "17/58439/36249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58439/36249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58439 ÷ 217
    58439 ÷ 131072     		x = 0.445854187011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36249 ÷ 217
    36249 ÷ 131072     		y = 0.276557922363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445854187011719 × 2 - 1) × π
    -0.108291625976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.34020818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276557922363281 × 2 - 1) × π
    0.446884155273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.40392797917258
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34020818} λ = -0.34020818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40392797917258))-π/2
    2×atan(4.07116003273764)-π/2
    2×1.32993459234952-π/2
    2.65986918469904-1.57079632675     		φ = 1.08907286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34020818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.492493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08907286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.399278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58439 KachelY 36249 -0.34020818 1.08907286 -19.492493 62.399278
    Oben rechts KachelX + 1 58440 KachelY 36249 -0.34016024 1.08907286 -19.489746 62.399278
    Unten links KachelX 58439 KachelY + 1 36250 -0.34020818 1.08905065 -19.492493 62.398006
    Unten rechts KachelX + 1 58440 KachelY + 1 36250 -0.34016024 1.08905065 -19.489746 62.398006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08907286-1.08905065) × R
    2.22100000000225e-05 × 6371000     		dl = 141.499910000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08907286-1.08905065) × R
    2.22100000000225e-05 × 6371000     		dr = 141.499910000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34020818--0.34016024) × cos(1.08907286) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.463307195261441 × 6371000     		do = 141.505942960121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34020818--0.34016024) × cos(1.08905065) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.463326877599079 × 6371000     		du = 141.511954452659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08907286)-sin(1.08905065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463307195261441-0.463326877599079)×R²
    abs(-0.34016024--0.34020818)×1.96823376384936e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.96823376384936e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.96823376384936e-05×40589641000000     		ar = 20023.5035070007m²