Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58438 / 86723
↖ ↑ ↗
← S 50.182174°
W 19.495239°		 ← 195.54 m → S 50.182174°
W 19.492493°		 →
↑
195.59 m
↓
↑
195.59 m
↓
S 50.183933°
W 19.495239°		 ← 195.53 m →
38 245 m²		 S 50.183933°
W 19.492493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445850372314453 y=0.661647796630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445850372314453 × 217)
    floor (0.445850372314453 × 131072)
    floor (58438.5)     		tx = 58438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661647796630859 × 217)
    floor (0.661647796630859 × 131072)
    floor (86723.5)     		ty = 86723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58438 / 86723 ti = "17/58438/86723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58438/86723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58438 ÷ 217
    58438 ÷ 131072     		x = 0.445846557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86723 ÷ 217
    86723 ÷ 131072     		y = 0.661643981933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445846557617188 × 2 - 1) × π
    -0.108306884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34025611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661643981933594 × 2 - 1) × π
    -0.323287963867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.01563909225013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34025611} λ = -0.34025611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01563909225013))-π/2
    2×atan(0.362170895242018)-π/2
    2×0.347476076034125-π/2
    0.694952152068251-1.57079632675     		φ = -0.87584417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34025611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.495239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87584417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.182174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58438 KachelY 86723 -0.34025611 -0.87584417 -19.495239 -50.182174
    Oben rechts KachelX + 1 58439 KachelY 86723 -0.34020818 -0.87584417 -19.492493 -50.182174
    Unten links KachelX 58438 KachelY + 1 86724 -0.34025611 -0.87587487 -19.495239 -50.183933
    Unten rechts KachelX + 1 58439 KachelY + 1 86724 -0.34020818 -0.87587487 -19.492493 -50.183933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87584417--0.87587487) × R
    3.06999999999391e-05 × 6371000     		dl = 195.589699999612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87584417--0.87587487) × R
    3.06999999999391e-05 × 6371000     		dr = 195.589699999612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34025611--0.34020818) × cos(-0.87584417) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.640348692647463 × 6371000     		do = 195.538176694569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34025611--0.34020818) × cos(-0.87587487) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.640325112156499 × 6371000     		du = 195.530976107979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87584417)-sin(-0.87587487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640348692647463-0.640325112156499)×R²
    abs(-0.34020818--0.34025611)×2.35804909648474e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.35804909648474e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.35804909648474e-05×40589641000000     		ar = 38244.5491409724m²