Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58438 / 36008
↖ ↑ ↗
← N 62.704388°
W 19.495239°		 ← 140.03 m → N 62.704388°
W 19.492493°		 →
↑
140.03 m
↓
↑
140.03 m
↓
N 62.703128°
W 19.495239°		 ← 140.04 m →
19 610 m²		 N 62.703128°
W 19.492493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445850372314453 y=0.274723052978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445850372314453 × 217)
    floor (0.445850372314453 × 131072)
    floor (58438.5)     		tx = 58438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274723052978516 × 217)
    floor (0.274723052978516 × 131072)
    floor (36008.5)     		ty = 36008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58438 / 36008 ti = "17/58438/36008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58438/36008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58438 ÷ 217
    58438 ÷ 131072     		x = 0.445846557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36008 ÷ 217
    36008 ÷ 131072     		y = 0.27471923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445846557617188 × 2 - 1) × π
    -0.108306884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34025611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27471923828125 × 2 - 1) × π
    0.4505615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.41548077198102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34025611} λ = -0.34025611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41548077198102))-π/2
    2×atan(4.11846603314843)-π/2
    2×1.33259717261211-π/2
    2.66519434522421-1.57079632675     		φ = 1.09439802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34025611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.495239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09439802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.704388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58438 KachelY 36008 -0.34025611 1.09439802 -19.495239 62.704388
    Oben rechts KachelX + 1 58439 KachelY 36008 -0.34020818 1.09439802 -19.492493 62.704388
    Unten links KachelX 58438 KachelY + 1 36009 -0.34025611 1.09437604 -19.495239 62.703128
    Unten rechts KachelX + 1 58439 KachelY + 1 36009 -0.34020818 1.09437604 -19.492493 62.703128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09439802-1.09437604) × R
    2.1980000000088e-05 × 6371000     		dl = 140.034580000561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09439802-1.09437604) × R
    2.1980000000088e-05 × 6371000     		dr = 140.034580000561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34025611--0.34020818) × cos(1.09439802) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.458581503720878 × 6371000     		do = 140.033378896583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34025611--0.34020818) × cos(1.09437604) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.45860103618882 × 6371000     		du = 140.039343370645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09439802)-sin(1.09437604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458581503720878-0.45860103618882)×R²
    abs(-0.34020818--0.34025611)×1.95324679418407e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.95324679418407e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.95324679418407e-05×40589641000000     		ar = 19609.9330168521m²