Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58438 / 35971
↖ ↑ ↗
← N 62.750954°
W 19.495239°		 ← 139.81 m → N 62.750954°
W 19.492493°		 →
↑
139.84 m
↓
↑
139.84 m
↓
N 62.749696°
W 19.495239°		 ← 139.82 m →
19 552 m²		 N 62.749696°
W 19.492493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445850372314453 y=0.274440765380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445850372314453 × 217)
    floor (0.445850372314453 × 131072)
    floor (58438.5)     		tx = 58438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274440765380859 × 217)
    floor (0.274440765380859 × 131072)
    floor (35971.5)     		ty = 35971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58438 / 35971 ti = "17/58438/35971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58438/35971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58438 ÷ 217
    58438 ÷ 131072     		x = 0.445846557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35971 ÷ 217
    35971 ÷ 131072     		y = 0.274436950683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445846557617188 × 2 - 1) × π
    -0.108306884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34025611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274436950683594 × 2 - 1) × π
    0.451126098632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.41725443726696
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34025611} λ = -0.34025611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41725443726696))-π/2
    2×atan(4.12577729533202)-π/2
    2×1.33300353728112-π/2
    2.66600707456224-1.57079632675     		φ = 1.09521075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34025611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.495239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09521075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.750954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58438 KachelY 35971 -0.34025611 1.09521075 -19.495239 62.750954
    Oben rechts KachelX + 1 58439 KachelY 35971 -0.34020818 1.09521075 -19.492493 62.750954
    Unten links KachelX 58438 KachelY + 1 35972 -0.34025611 1.09518880 -19.495239 62.749696
    Unten rechts KachelX + 1 58439 KachelY + 1 35972 -0.34020818 1.09518880 -19.492493 62.749696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09521075-1.09518880) × R
    2.19499999998263e-05 × 6371000     		dl = 139.843449998893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09521075-1.09518880) × R
    2.19499999998263e-05 × 6371000     		dr = 139.843449998893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34025611--0.34020818) × cos(1.09521075) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.457859117920131 × 6371000     		do = 139.812789702024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34025611--0.34020818) × cos(1.09518880) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.457878631903365 × 6371000     		du = 139.818748531558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09521075)-sin(1.09518880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457859117920131-0.457878631903365)×R²
    abs(-0.34020818--0.34025611)×1.95139832338542e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.95139832338542e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.95139832338542e-05×40589641000000     		ar = 19552.3195183892m²