Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58436 / 29764
↖ ↑ ↗
← N 69.592059°
W 19.500733°		 ← 106.50 m → N 69.592059°
W 19.497986°		 →
↑
106.52 m
↓
↑
106.52 m
↓
N 69.591101°
W 19.500733°		 ← 106.51 m →
11 345 m²		 N 69.591101°
W 19.497986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445835113525391 y=0.227085113525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445835113525391 × 217)
    floor (0.445835113525391 × 131072)
    floor (58436.5)     		tx = 58436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227085113525391 × 217)
    floor (0.227085113525391 × 131072)
    floor (29764.5)     		ty = 29764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58436 / 29764 ti = "17/58436/29764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58436/29764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58436 ÷ 217
    58436 ÷ 131072     		x = 0.445831298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29764 ÷ 217
    29764 ÷ 131072     		y = 0.227081298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445831298828125 × 2 - 1) × π
    -0.10833740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34035199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227081298828125 × 2 - 1) × π
    0.54583740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.71479877320865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34035199} λ = -0.34035199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71479877320865))-π/2
    2×atan(5.55555747287101)-π/2
    2×1.39270344873514-π/2
    2.78540689747029-1.57079632675     		φ = 1.21461057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34035199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.500733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21461057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.592059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58436 KachelY 29764 -0.34035199 1.21461057 -19.500733 69.592059
    Oben rechts KachelX + 1 58437 KachelY 29764 -0.34030405 1.21461057 -19.497986 69.592059
    Unten links KachelX 58436 KachelY + 1 29765 -0.34035199 1.21459385 -19.500733 69.591101
    Unten rechts KachelX + 1 58437 KachelY + 1 29765 -0.34030405 1.21459385 -19.497986 69.591101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21461057-1.21459385) × R
    1.67200000000811e-05 × 6371000     		dl = 106.523120000517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21461057-1.21459385) × R
    1.67200000000811e-05 × 6371000     		dr = 106.523120000517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34035199--0.34030405) × cos(1.21461057) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348701941311242 × 6371000     		do = 106.502548464353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34035199--0.34030405) × cos(1.21459385) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348717611809497 × 6371000     		du = 106.507334637879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21461057)-sin(1.21459385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348701941311242-0.348717611809497)×R²
    abs(-0.34030405--0.34035199)×1.56704982556821e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56704982556821e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56704982556821e-05×40589641000000     		ar = 11345.2386697952m²