Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58435 / 35889
↖ ↑ ↗
← N 62.853892°
W 19.503479°		 ← 139.32 m → N 62.853892°
W 19.500733°		 →
↑
139.33 m
↓
↑
139.33 m
↓
N 62.852639°
W 19.503479°		 ← 139.33 m →
19 413 m²		 N 62.852639°
W 19.500733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445827484130859 y=0.273815155029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445827484130859 × 217)
    floor (0.445827484130859 × 131072)
    floor (58435.5)     		tx = 58435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273815155029297 × 217)
    floor (0.273815155029297 × 131072)
    floor (35889.5)     		ty = 35889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58435 / 35889 ti = "17/58435/35889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58435/35889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58435 ÷ 217
    58435 ÷ 131072     		x = 0.445823669433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35889 ÷ 217
    35889 ÷ 131072     		y = 0.273811340332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445823669433594 × 2 - 1) × π
    -0.108352661132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.34039992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273811340332031 × 2 - 1) × π
    0.452377319335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.4211852630358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34039992} λ = -0.34039992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4211852630358))-π/2
    2×atan(4.14202692334601)-π/2
    2×1.3339018484761-π/2
    2.66780369695219-1.57079632675     		φ = 1.09700737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34039992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.503479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09700737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.853892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58435 KachelY 35889 -0.34039992 1.09700737 -19.503479 62.853892
    Oben rechts KachelX + 1 58436 KachelY 35889 -0.34035199 1.09700737 -19.500733 62.853892
    Unten links KachelX 58435 KachelY + 1 35890 -0.34039992 1.09698550 -19.503479 62.852639
    Unten rechts KachelX + 1 58436 KachelY + 1 35890 -0.34035199 1.09698550 -19.500733 62.852639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09700737-1.09698550) × R
    2.18700000000904e-05 × 6371000     		dl = 139.333770000576m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09700737-1.09698550) × R
    2.18700000000904e-05 × 6371000     		dr = 139.333770000576m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34039992--0.34035199) × cos(1.09700737) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.456261140162232 × 6371000     		do = 139.324827970139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34039992--0.34035199) × cos(1.09698550) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.456280600983517 × 6371000     		du = 139.330770566032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09700737)-sin(1.09698550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456261140162232-0.456280600983517)×R²
    abs(-0.34035199--0.34039992)×1.94608212854552e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.94608212854552e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.94608212854552e-05×40589641000000     		ar = 19413.0675387871m²