Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58434 / 38746
↖ ↑ ↗
← N 59.049031°
W 19.506226°		 ← 157.08 m → N 59.049031°
W 19.503479°		 →
↑
157.05 m
↓
↑
157.05 m
↓
N 59.047619°
W 19.506226°		 ← 157.09 m →
24 669 m²		 N 59.047619°
W 19.503479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445819854736328 y=0.295612335205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445819854736328 × 217)
    floor (0.445819854736328 × 131072)
    floor (58434.5)     		tx = 58434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295612335205078 × 217)
    floor (0.295612335205078 × 131072)
    floor (38746.5)     		ty = 38746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58434 / 38746 ti = "17/58434/38746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58434/38746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58434 ÷ 217
    58434 ÷ 131072     		x = 0.445816040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38746 ÷ 217
    38746 ÷ 131072     		y = 0.295608520507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445816040039062 × 2 - 1) × π
    -0.108367919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34044786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295608520507812 × 2 - 1) × π
    0.408782958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.2842295408213
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34044786} λ = -0.34044786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2842295408213))-π/2
    2×atan(3.61188407568312)-π/2
    2×1.30069817011315-π/2
    2.60139634022629-1.57079632675     		φ = 1.03060001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34044786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.506226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03060001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.049031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58434 KachelY 38746 -0.34044786 1.03060001 -19.506226 59.049031
    Oben rechts KachelX + 1 58435 KachelY 38746 -0.34039992 1.03060001 -19.503479 59.049031
    Unten links KachelX 58434 KachelY + 1 38747 -0.34044786 1.03057536 -19.506226 59.047619
    Unten rechts KachelX + 1 58435 KachelY + 1 38747 -0.34039992 1.03057536 -19.503479 59.047619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03060001-1.03057536) × R
    2.46499999998484e-05 × 6371000     		dl = 157.045149999034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03060001-1.03057536) × R
    2.46499999998484e-05 × 6371000     		dr = 157.045149999034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34044786--0.34039992) × cos(1.03060001) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.514304364363838 × 6371000     		do = 157.081791070952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34044786--0.34039992) × cos(1.03057536) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.514325504238161 × 6371000     		du = 157.088247732711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03060001)-sin(1.03057536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514304364363838-0.514325504238161)×R²
    abs(-0.34039992--0.34044786)×2.11398743229507e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.11398743229507e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.11398743229507e-05×40589641000000     		ar = 24669.4404358099m²