Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58430 / 36282
↖ ↑ ↗
← N 62.357256°
W 19.517212°		 ← 141.70 m → N 62.357256°
W 19.514465°		 →
↑
141.69 m
↓
↑
141.69 m
↓
N 62.355982°
W 19.517212°		 ← 141.71 m →
20 079 m²		 N 62.355982°
W 19.514465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445789337158203 y=0.276813507080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445789337158203 × 217)
    floor (0.445789337158203 × 131072)
    floor (58430.5)     		tx = 58430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276813507080078 × 217)
    floor (0.276813507080078 × 131072)
    floor (36282.5)     		ty = 36282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58430 / 36282 ti = "17/58430/36282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58430/36282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58430 ÷ 217
    58430 ÷ 131072     		x = 0.445785522460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36282 ÷ 217
    36282 ÷ 131072     		y = 0.276809692382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445785522460938 × 2 - 1) × π
    -0.108428955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34063961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276809692382812 × 2 - 1) × π
    0.446380615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.40234606148512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34063961} λ = -0.34063961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40234606148512))-π/2
    2×atan(4.06472488395318)-π/2
    2×1.32956787847089-π/2
    2.65913575694178-1.57079632675     		φ = 1.08833943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34063961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.517212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08833943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.357256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58430 KachelY 36282 -0.34063961 1.08833943 -19.517212 62.357256
    Oben rechts KachelX + 1 58431 KachelY 36282 -0.34059167 1.08833943 -19.514465 62.357256
    Unten links KachelX 58430 KachelY + 1 36283 -0.34063961 1.08831719 -19.517212 62.355982
    Unten rechts KachelX + 1 58431 KachelY + 1 36283 -0.34059167 1.08831719 -19.514465 62.355982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08833943-1.08831719) × R
    2.22400000000622e-05 × 6371000     		dl = 141.691040000396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08833943-1.08831719) × R
    2.22400000000622e-05 × 6371000     		dr = 141.691040000396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34063961--0.34059167) × cos(1.08833943) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.463957034604112 × 6371000     		do = 141.704420622074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34063961--0.34059167) × cos(1.08831719) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.463976735964686 × 6371000     		du = 141.710437924706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08833943)-sin(1.08831719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463957034604112-0.463976735964686)×R²
    abs(-0.34059167--0.34063961)×1.97013605734431e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97013605734431e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97013605734431e-05×40589641000000     		ar = 20078.673030362m²