Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58430 / 35966
↖ ↑ ↗
← N 62.757241°
W 19.517212°		 ← 139.81 m → N 62.757241°
W 19.514465°		 →
↑
139.84 m
↓
↑
139.84 m
↓
N 62.755983°
W 19.517212°		 ← 139.82 m →
19 552 m²		 N 62.755983°
W 19.514465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445789337158203 y=0.274402618408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445789337158203 × 217)
    floor (0.445789337158203 × 131072)
    floor (58430.5)     		tx = 58430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274402618408203 × 217)
    floor (0.274402618408203 × 131072)
    floor (35966.5)     		ty = 35966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58430 / 35966 ti = "17/58430/35966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58430/35966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58430 ÷ 217
    58430 ÷ 131072     		x = 0.445785522460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35966 ÷ 217
    35966 ÷ 131072     		y = 0.274398803710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445785522460938 × 2 - 1) × π
    -0.108428955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34063961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274398803710938 × 2 - 1) × π
    0.451202392578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.41749412176506
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34063961} λ = -0.34063961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41749412176506))-π/2
    2×atan(4.12676629871198)-π/2
    2×1.33305840230201-π/2
    2.66611680460402-1.57079632675     		φ = 1.09532048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34063961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.517212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09532048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.757241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58430 KachelY 35966 -0.34063961 1.09532048 -19.517212 62.757241
    Oben rechts KachelX + 1 58431 KachelY 35966 -0.34059167 1.09532048 -19.514465 62.757241
    Unten links KachelX 58430 KachelY + 1 35967 -0.34063961 1.09529853 -19.517212 62.755983
    Unten rechts KachelX + 1 58431 KachelY + 1 35967 -0.34059167 1.09529853 -19.514465 62.755983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09532048-1.09529853) × R
    2.19500000000483e-05 × 6371000     		dl = 139.843450000308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09532048-1.09529853) × R
    2.19500000000483e-05 × 6371000     		dr = 139.843450000308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34063961--0.34059167) × cos(1.09532048) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.457761562476684 × 6371000     		do = 139.812163962906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34063961--0.34059167) × cos(1.09529853) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.457781077562612 × 6371000     		du = 139.818124372466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09532048)-sin(1.09529853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457761562476684-0.457781077562612)×R²
    abs(-0.34059167--0.34063961)×1.95150859274018e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95150859274018e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95150859274018e-05×40589641000000     		ar = 19552.2321235478m²