Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58429 / 36284
↖ ↑ ↗
← N 62.354708°
W 19.519959°		 ← 141.72 m → N 62.354708°
W 19.517212°		 →
↑
141.75 m
↓
↑
141.75 m
↓
N 62.353433°
W 19.519959°		 ← 141.72 m →
20 089 m²		 N 62.353433°
W 19.517212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445781707763672 y=0.276828765869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445781707763672 × 217)
    floor (0.445781707763672 × 131072)
    floor (58429.5)     		tx = 58429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276828765869141 × 217)
    floor (0.276828765869141 × 131072)
    floor (36284.5)     		ty = 36284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58429 / 36284 ti = "17/58429/36284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58429/36284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58429 ÷ 217
    58429 ÷ 131072     		x = 0.445777893066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36284 ÷ 217
    36284 ÷ 131072     		y = 0.276824951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445777893066406 × 2 - 1) × π
    -0.108444213867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.34068755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276824951171875 × 2 - 1) × π
    0.44635009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.40225018768588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34068755} λ = -0.34068755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40225018768588))-π/2
    2×atan(4.06433520201614)-π/2
    2×1.32954563686463-π/2
    2.65909127372925-1.57079632675     		φ = 1.08829495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34068755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.519959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08829495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.354708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58429 KachelY 36284 -0.34068755 1.08829495 -19.519959 62.354708
    Oben rechts KachelX + 1 58430 KachelY 36284 -0.34063961 1.08829495 -19.517212 62.354708
    Unten links KachelX 58429 KachelY + 1 36285 -0.34068755 1.08827270 -19.519959 62.353433
    Unten rechts KachelX + 1 58430 KachelY + 1 36285 -0.34063961 1.08827270 -19.517212 62.353433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08829495-1.08827270) × R
    2.22500000000014e-05 × 6371000     		dl = 141.754750000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08829495-1.08827270) × R
    2.22500000000014e-05 × 6371000     		dr = 141.754750000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34068755--0.34063961) × cos(1.08829495) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.463996437095768 × 6371000     		do = 141.716455157409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34068755--0.34063961) × cos(1.08827270) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.464016146855617 × 6371000     		du = 141.722475025397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08829495)-sin(1.08827270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463996437095768-0.464016146855617)×R²
    abs(-0.34063961--0.34068755)×1.97097598489404e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.97097598489404e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.97097598489404e-05×40589641000000     		ar = 20089.4073450408m²