Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58429 / 29747
↖ ↑ ↗
← N 69.608335°
W 19.519959°		 ← 106.42 m → N 69.608335°
W 19.517212°		 →
↑
106.40 m
↓
↑
106.40 m
↓
N 69.607378°
W 19.519959°		 ← 106.43 m →
11 323 m²		 N 69.607378°
W 19.517212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445781707763672 y=0.226955413818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445781707763672 × 217)
    floor (0.445781707763672 × 131072)
    floor (58429.5)     		tx = 58429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226955413818359 × 217)
    floor (0.226955413818359 × 131072)
    floor (29747.5)     		ty = 29747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58429 / 29747 ti = "17/58429/29747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58429/29747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58429 ÷ 217
    58429 ÷ 131072     		x = 0.445777893066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29747 ÷ 217
    29747 ÷ 131072     		y = 0.226951599121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445777893066406 × 2 - 1) × π
    -0.108444213867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.34068755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226951599121094 × 2 - 1) × π
    0.546096801757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.71561370050219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34068755} λ = -0.34068755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71561370050219))-π/2
    2×atan(5.5600866935286)-π/2
    2×1.39284547785141-π/2
    2.78569095570281-1.57079632675     		φ = 1.21489463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34068755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.519959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21489463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.608335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58429 KachelY 29747 -0.34068755 1.21489463 -19.519959 69.608335
    Oben rechts KachelX + 1 58430 KachelY 29747 -0.34063961 1.21489463 -19.517212 69.608335
    Unten links KachelX 58429 KachelY + 1 29748 -0.34068755 1.21487793 -19.519959 69.607378
    Unten rechts KachelX + 1 58430 KachelY + 1 29748 -0.34063961 1.21487793 -19.517212 69.607378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21489463-1.21487793) × R
    1.66999999999806e-05 × 6371000     		dl = 106.395699999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21489463-1.21487793) × R
    1.66999999999806e-05 × 6371000     		dr = 106.395699999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34068755--0.34063961) × cos(1.21489463) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.34843569664953 × 6371000     		do = 106.421230491652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34068755--0.34063961) × cos(1.21487793) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.348451350056807 × 6371000     		du = 106.426011445153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21489463)-sin(1.21487793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34843569664953-0.348451350056807)×R²
    abs(-0.34063961--0.34068755)×1.56534072772718e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.56534072772718e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.56534072772718e-05×40589641000000     		ar = 11323.0156497785m²