Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58427 / 38419
↖ ↑ ↗
← N 59.507849°
W 19.525452°		 ← 154.98 m → N 59.507849°
W 19.522705°		 →
↑
155.01 m
↓
↑
155.01 m
↓
N 59.506455°
W 19.525452°		 ← 154.99 m →
24 023 m²		 N 59.506455°
W 19.522705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445766448974609 y=0.293117523193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445766448974609 × 217)
    floor (0.445766448974609 × 131072)
    floor (58427.5)     		tx = 58427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293117523193359 × 217)
    floor (0.293117523193359 × 131072)
    floor (38419.5)     		ty = 38419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58427 / 38419 ti = "17/58427/38419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58427/38419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58427 ÷ 217
    58427 ÷ 131072     		x = 0.445762634277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38419 ÷ 217
    38419 ÷ 131072     		y = 0.293113708496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445762634277344 × 2 - 1) × π
    -0.108474731445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.34078342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293113708496094 × 2 - 1) × π
    0.413772583007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.29990490699706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34078342} λ = -0.34078342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29990490699706))-π/2
    2×atan(3.66894775977006)-π/2
    2×1.3047021080817-π/2
    2.6094042161634-1.57079632675     		φ = 1.03860789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34078342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.525452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03860789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.507849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58427 KachelY 38419 -0.34078342 1.03860789 -19.525452 59.507849
    Oben rechts KachelX + 1 58428 KachelY 38419 -0.34073548 1.03860789 -19.522705 59.507849
    Unten links KachelX 58427 KachelY + 1 38420 -0.34078342 1.03858356 -19.525452 59.506455
    Unten rechts KachelX + 1 58428 KachelY + 1 38420 -0.34073548 1.03858356 -19.522705 59.506455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03860789-1.03858356) × R
    2.43300000000168e-05 × 6371000     		dl = 155.006430000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03860789-1.03858356) × R
    2.43300000000168e-05 × 6371000     		dr = 155.006430000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34078342--0.34073548) × cos(1.03860789) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.50742032787397 × 6371000     		do = 154.979229132028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34078342--0.34073548) × cos(1.03858356) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.507441292852609 × 6371000     		du = 154.985632376143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03860789)-sin(1.03858356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.50742032787397-0.507441292852609)×R²
    abs(-0.34073548--0.34078342)×2.09649786389043e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09649786389043e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09649786389043e-05×40589641000000     		ar = 24023.2733051933m²