Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58424 / 86647
↖ ↑ ↗
← S 50.048321°
W 19.533691°		 ← 196.13 m → S 50.048321°
W 19.530945°		 →
↑
196.10 m
↓
↑
196.10 m
↓
S 50.050085°
W 19.533691°		 ← 196.12 m →
38 460 m²		 S 50.050085°
W 19.530945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445743560791016 y=0.661067962646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445743560791016 × 217)
    floor (0.445743560791016 × 131072)
    floor (58424.5)     		tx = 58424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661067962646484 × 217)
    floor (0.661067962646484 × 131072)
    floor (86647.5)     		ty = 86647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58424 / 86647 ti = "17/58424/86647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58424/86647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58424 ÷ 217
    58424 ÷ 131072     		x = 0.44573974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86647 ÷ 217
    86647 ÷ 131072     		y = 0.661064147949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44573974609375 × 2 - 1) × π
    -0.1085205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34092723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661064147949219 × 2 - 1) × π
    -0.322128295898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.01199588787901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34092723} λ = -0.34092723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01199588787901))-π/2
    2×atan(0.363492764288111)-π/2
    2×0.348644169113595-π/2
    0.697288338227191-1.57079632675     		φ = -0.87350799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34092723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.533691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87350799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.048321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58424 KachelY 86647 -0.34092723 -0.87350799 -19.533691 -50.048321
    Oben rechts KachelX + 1 58425 KachelY 86647 -0.34087929 -0.87350799 -19.530945 -50.048321
    Unten links KachelX 58424 KachelY + 1 86648 -0.34092723 -0.87353877 -19.533691 -50.050085
    Unten rechts KachelX + 1 58425 KachelY + 1 86648 -0.34087929 -0.87353877 -19.530945 -50.050085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87350799--0.87353877) × R
    3.0780000000008e-05 × 6371000     		dl = 196.099380000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87350799--0.87353877) × R
    3.0780000000008e-05 × 6371000     		dr = 196.099380000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34092723--0.34087929) × cos(-0.87350799) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.642141326859769 × 6371000     		do = 196.126489940825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34092723--0.34087929) × cos(-0.87353877) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.642117731030057 × 6371000     		du = 196.119283167075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87350799)-sin(-0.87353877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642141326859769-0.642117731030057)×R²
    abs(-0.34087929--0.34092723)×2.35958297122307e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35958297122307e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35958297122307e-05×40589641000000     		ar = 38459.5764600318m²