Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58424 / 35976
↖ ↑ ↗
← N 62.744665°
W 19.533691°		 ← 139.87 m → N 62.744665°
W 19.530945°		 →
↑
139.84 m
↓
↑
139.84 m
↓
N 62.743407°
W 19.533691°		 ← 139.88 m →
19 561 m²		 N 62.743407°
W 19.530945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445743560791016 y=0.274478912353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445743560791016 × 217)
    floor (0.445743560791016 × 131072)
    floor (58424.5)     		tx = 58424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274478912353516 × 217)
    floor (0.274478912353516 × 131072)
    floor (35976.5)     		ty = 35976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58424 / 35976 ti = "17/58424/35976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58424/35976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58424 ÷ 217
    58424 ÷ 131072     		x = 0.44573974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35976 ÷ 217
    35976 ÷ 131072     		y = 0.27447509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44573974609375 × 2 - 1) × π
    -0.1085205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34092723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27447509765625 × 2 - 1) × π
    0.4510498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.41701475276886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34092723} λ = -0.34092723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41701475276886))-π/2
    2×atan(4.12478852897243)-π/2
    2×1.33294866056804-π/2
    2.66589732113609-1.57079632675     		φ = 1.09510099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34092723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.533691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09510099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.744665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58424 KachelY 35976 -0.34092723 1.09510099 -19.533691 62.744665
    Oben rechts KachelX + 1 58425 KachelY 35976 -0.34087929 1.09510099 -19.530945 62.744665
    Unten links KachelX 58424 KachelY + 1 35977 -0.34092723 1.09507904 -19.533691 62.743407
    Unten rechts KachelX + 1 58425 KachelY + 1 35977 -0.34087929 1.09507904 -19.530945 62.743407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09510099-1.09507904) × R
    2.19500000000483e-05 × 6371000     		dl = 139.843450000308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09510099-1.09507904) × R
    2.19500000000483e-05 × 6371000     		dr = 139.843450000308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34092723--0.34087929) × cos(1.09510099) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.457956694519882 × 6371000     		do = 139.871762311759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34092723--0.34087929) × cos(1.09507904) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.457976207399886 × 6371000     		du = 139.877722047574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09510099)-sin(1.09507904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457956694519882-0.457976207399886)×R²
    abs(-0.34087929--0.34092723)×1.95128800041244e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.95128800041244e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.95128800041244e-05×40589641000000     		ar = 19560.5665150384m²