Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58422 / 84126
↖ ↑ ↗
← S 45.394593°
W 19.539184°		 ← 214.43 m → S 45.394593°
W 19.536438°		 →
↑
214.45 m
↓
↑
214.45 m
↓
S 45.396522°
W 19.539184°		 ← 214.42 m →
45 984 m²		 S 45.396522°
W 19.536438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445728302001953 y=0.641834259033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445728302001953 × 217)
    floor (0.445728302001953 × 131072)
    floor (58422.5)     		tx = 58422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641834259033203 × 217)
    floor (0.641834259033203 × 131072)
    floor (84126.5)     		ty = 84126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58422 / 84126 ti = "17/58422/84126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58422/84126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58422 ÷ 217
    58422 ÷ 131072     		x = 0.445724487304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84126 ÷ 217
    84126 ÷ 131072     		y = 0.641830444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445724487304688 × 2 - 1) × π
    -0.108551025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34102310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641830444335938 × 2 - 1) × π
    -0.283660888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.891146963936844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34102310} λ = -0.34102310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.891146963936844))-π/2
    2×atan(0.410185015424456)-π/2
    2×0.38925561082482-π/2
    0.778511221649641-1.57079632675     		φ = -0.79228511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34102310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.539184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79228511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.394593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58422 KachelY 84126 -0.34102310 -0.79228511 -19.539184 -45.394593
    Oben rechts KachelX + 1 58423 KachelY 84126 -0.34097517 -0.79228511 -19.536438 -45.394593
    Unten links KachelX 58422 KachelY + 1 84127 -0.34102310 -0.79231877 -19.539184 -45.396522
    Unten rechts KachelX + 1 58423 KachelY + 1 84127 -0.34097517 -0.79231877 -19.536438 -45.396522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79228511--0.79231877) × R
    3.36599999999354e-05 × 6371000     		dl = 214.447859999588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79228511--0.79231877) × R
    3.36599999999354e-05 × 6371000     		dr = 214.447859999588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34102310--0.34097517) × cos(-0.79228511) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.702220244055088 × 6371000     		do = 214.431399231888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34102310--0.34097517) × cos(-0.79231877) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.70219627909108 × 6371000     		du = 214.42408124183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79228511)-sin(-0.79231877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702220244055088-0.70219627909108)×R²
    abs(-0.34097517--0.34102310)×2.39649640082495e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39649640082495e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39649640082495e-05×40589641000000     		ar = 45983.57002267m²