Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58422 / 36290
↖ ↑ ↗
← N 62.347060°
W 19.539184°		 ← 141.72 m → N 62.347060°
W 19.536438°		 →
↑
141.69 m
↓
↑
141.69 m
↓
N 62.345785°
W 19.539184°		 ← 141.73 m →
20 081 m²		 N 62.345785°
W 19.536438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445728302001953 y=0.276874542236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445728302001953 × 217)
    floor (0.445728302001953 × 131072)
    floor (58422.5)     		tx = 58422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276874542236328 × 217)
    floor (0.276874542236328 × 131072)
    floor (36290.5)     		ty = 36290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58422 / 36290 ti = "17/58422/36290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58422/36290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58422 ÷ 217
    58422 ÷ 131072     		x = 0.445724487304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36290 ÷ 217
    36290 ÷ 131072     		y = 0.276870727539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445724487304688 × 2 - 1) × π
    -0.108551025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34102310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276870727539062 × 2 - 1) × π
    0.446258544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.40196256628816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34102310} λ = -0.34102310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40196256628816))-π/2
    2×atan(4.06316638034165)-π/2
    2×1.3294789007112-π/2
    2.6589578014224-1.57079632675     		φ = 1.08816147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34102310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.539184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08816147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.347060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58422 KachelY 36290 -0.34102310 1.08816147 -19.539184 62.347060
    Oben rechts KachelX + 1 58423 KachelY 36290 -0.34097517 1.08816147 -19.536438 62.347060
    Unten links KachelX 58422 KachelY + 1 36291 -0.34102310 1.08813923 -19.539184 62.345785
    Unten rechts KachelX + 1 58423 KachelY + 1 36291 -0.34097517 1.08813923 -19.536438 62.345785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08816147-1.08813923) × R
    2.22400000000622e-05 × 6371000     		dl = 141.691040000396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08816147-1.08813923) × R
    2.22400000000622e-05 × 6371000     		dr = 141.691040000396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34102310--0.34097517) × cos(1.08816147) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.464114674493409 × 6371000     		do = 141.722999156183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34102310--0.34097517) × cos(1.08813923) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.464134374017369 × 6371000     		du = 141.72901464281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08816147)-sin(1.08813923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464114674493409-0.464134374017369)×R²
    abs(-0.34097517--0.34102310)×1.96995239593045e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.96995239593045e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.96995239593045e-05×40589641000000     		ar = 20081.3053134752m²