Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58420 / 36308
↖ ↑ ↗
← N 62.324106°
W 19.544678°		 ← 141.86 m → N 62.324106°
W 19.541931°		 →
↑
141.82 m
↓
↑
141.82 m
↓
N 62.322830°
W 19.544678°		 ← 141.87 m →
20 119 m²		 N 62.322830°
W 19.541931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445713043212891 y=0.277011871337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445713043212891 × 217)
    floor (0.445713043212891 × 131072)
    floor (58420.5)     		tx = 58420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277011871337891 × 217)
    floor (0.277011871337891 × 131072)
    floor (36308.5)     		ty = 36308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58420 / 36308 ti = "17/58420/36308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58420/36308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58420 ÷ 217
    58420 ÷ 131072     		x = 0.445709228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36308 ÷ 217
    36308 ÷ 131072     		y = 0.277008056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445709228515625 × 2 - 1) × π
    -0.10858154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34111898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.277008056640625 × 2 - 1) × π
    0.44598388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.401099702095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34111898} λ = -0.34111898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.401099702095))-π/2
    2×atan(4.05966193171025)-π/2
    2×1.32927859021198-π/2
    2.65855718042396-1.57079632675     		φ = 1.08776085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34111898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.544678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08776085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.324106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58420 KachelY 36308 -0.34111898 1.08776085 -19.544678 62.324106
    Oben rechts KachelX + 1 58421 KachelY 36308 -0.34107104 1.08776085 -19.541931 62.324106
    Unten links KachelX 58420 KachelY + 1 36309 -0.34111898 1.08773859 -19.544678 62.322830
    Unten rechts KachelX + 1 58421 KachelY + 1 36309 -0.34107104 1.08773859 -19.541931 62.322830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08776085-1.08773859) × R
    2.22599999999407e-05 × 6371000     		dl = 141.818459999622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08776085-1.08773859) × R
    2.22599999999407e-05 × 6371000     		dr = 141.818459999622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34111898--0.34107104) × cos(1.08776085) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.464469496469419 × 6371000     		do = 141.860939666671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34111898--0.34107104) × cos(1.08773859) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.464489209568122 × 6371000     		du = 141.86696055443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08776085)-sin(1.08773859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464469496469419-0.464489209568122)×R²
    abs(-0.34107104--0.34111898)×1.97130987026339e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.97130987026339e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.97130987026339e-05×40589641000000     		ar = 20118.9269350196m²