Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58419 / 36309
↖ ↑ ↗
← N 62.322830°
W 19.547424°		 ← 141.84 m → N 62.322830°
W 19.544678°		 →
↑
141.88 m
↓
↑
141.88 m
↓
N 62.321554°
W 19.547424°		 ← 141.84 m →
20 125 m²		 N 62.321554°
W 19.544678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445705413818359 y=0.277019500732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445705413818359 × 217)
    floor (0.445705413818359 × 131072)
    floor (58419.5)     		tx = 58419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277019500732422 × 217)
    floor (0.277019500732422 × 131072)
    floor (36309.5)     		ty = 36309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58419 / 36309 ti = "17/58419/36309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58419/36309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58419 ÷ 217
    58419 ÷ 131072     		x = 0.445701599121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36309 ÷ 217
    36309 ÷ 131072     		y = 0.277015686035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445701599121094 × 2 - 1) × π
    -0.108596801757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.34116691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.277015686035156 × 2 - 1) × π
    0.445968627929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.40105176519538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34116691} λ = -0.34116691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40105176519538))-π/2
    2×atan(4.0594673287681)-π/2
    2×1.32926745736194-π/2
    2.65853491472388-1.57079632675     		φ = 1.08773859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34116691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.547424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08773859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.322830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58419 KachelY 36309 -0.34116691 1.08773859 -19.547424 62.322830
    Oben rechts KachelX + 1 58420 KachelY 36309 -0.34111898 1.08773859 -19.544678 62.322830
    Unten links KachelX 58419 KachelY + 1 36310 -0.34116691 1.08771632 -19.547424 62.321554
    Unten rechts KachelX + 1 58420 KachelY + 1 36310 -0.34111898 1.08771632 -19.544678 62.321554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08773859-1.08771632) × R
    2.22700000001019e-05 × 6371000     		dl = 141.882170000649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08773859-1.08771632) × R
    2.22700000001019e-05 × 6371000     		dr = 141.882170000649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34116691--0.34111898) × cos(1.08773859) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.464489209568122 × 6371000     		do = 141.83736794674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34116691--0.34111898) × cos(1.08771632) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.464508931292351 × 6371000     		du = 141.843390212485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08773859)-sin(1.08771632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464489209568122-0.464508931292351)×R²
    abs(-0.34111898--0.34116691)×1.97217242291492e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.97217242291492e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.97217242291492e-05×40589641000000     		ar = 20124.6207782959m²