Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58417 / 36373
↖ ↑ ↗
← N 62.241071°
W 19.552918°		 ← 142.25 m → N 62.241071°
W 19.550171°		 →
↑
142.26 m
↓
↑
142.26 m
↓
N 62.239792°
W 19.552918°		 ← 142.26 m →
20 238 m²		 N 62.239792°
W 19.550171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445690155029297 y=0.277507781982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445690155029297 × 217)
    floor (0.445690155029297 × 131072)
    floor (58417.5)     		tx = 58417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277507781982422 × 217)
    floor (0.277507781982422 × 131072)
    floor (36373.5)     		ty = 36373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58417 / 36373 ti = "17/58417/36373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58417/36373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58417 ÷ 217
    58417 ÷ 131072     		x = 0.445686340332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36373 ÷ 217
    36373 ÷ 131072     		y = 0.277503967285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445686340332031 × 2 - 1) × π
    -0.108627319335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.34126279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.277503967285156 × 2 - 1) × π
    0.444992065429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.3979838036197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34126279} λ = -0.34126279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3979838036197))-π/2
    2×atan(4.04703212410449)-π/2
    2×1.32855397127312-π/2
    2.65710794254624-1.57079632675     		φ = 1.08631162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34126279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.552918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08631162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.241071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58417 KachelY 36373 -0.34126279 1.08631162 -19.552918 62.241071
    Oben rechts KachelX + 1 58418 KachelY 36373 -0.34121485 1.08631162 -19.550171 62.241071
    Unten links KachelX 58417 KachelY + 1 36374 -0.34126279 1.08628929 -19.552918 62.239792
    Unten rechts KachelX + 1 58418 KachelY + 1 36374 -0.34121485 1.08628929 -19.550171 62.239792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08631162-1.08628929) × R
    2.23299999999593e-05 × 6371000     		dl = 142.264429999741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08631162-1.08628929) × R
    2.23299999999593e-05 × 6371000     		dr = 142.264429999741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34126279--0.34121485) × cos(1.08631162) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.465752430583374 × 6371000     		do = 142.252780767632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34126279--0.34121485) × cos(1.08628929) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.465772190620669 × 6371000     		du = 142.258815991646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08631162)-sin(1.08628929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465752430583374-0.465772190620669)×R²
    abs(-0.34121485--0.34126279)×1.97600372953688e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97600372953688e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97600372953688e-05×40589641000000     		ar = 20237.9400715618m²