Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58415 / 36047
↖ ↑ ↗
← N 62.655225°
W 19.558411°		 ← 140.27 m → N 62.655225°
W 19.555664°		 →
↑
140.29 m
↓
↑
140.29 m
↓
N 62.653963°
W 19.558411°		 ← 140.27 m →
19 678 m²		 N 62.653963°
W 19.555664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445674896240234 y=0.275020599365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445674896240234 × 217)
    floor (0.445674896240234 × 131072)
    floor (58415.5)     		tx = 58415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275020599365234 × 217)
    floor (0.275020599365234 × 131072)
    floor (36047.5)     		ty = 36047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58415 / 36047 ti = "17/58415/36047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58415/36047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58415 ÷ 217
    58415 ÷ 131072     		x = 0.445671081542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36047 ÷ 217
    36047 ÷ 131072     		y = 0.275016784667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445671081542969 × 2 - 1) × π
    -0.108657836914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.34135866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.275016784667969 × 2 - 1) × π
    0.449966430664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.41361123289584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34135866} λ = -0.34135866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41361123289584))-π/2
    2×atan(4.11077359282792)-π/2
    2×1.33216814835551-π/2
    2.66433629671102-1.57079632675     		φ = 1.09353997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34135866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.558411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09353997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.655225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58415 KachelY 36047 -0.34135866 1.09353997 -19.558411 62.655225
    Oben rechts KachelX + 1 58416 KachelY 36047 -0.34131073 1.09353997 -19.555664 62.655225
    Unten links KachelX 58415 KachelY + 1 36048 -0.34135866 1.09351795 -19.558411 62.653963
    Unten rechts KachelX + 1 58416 KachelY + 1 36048 -0.34131073 1.09351795 -19.555664 62.653963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09353997-1.09351795) × R
    2.20199999998449e-05 × 6371000     		dl = 140.289419999012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09353997-1.09351795) × R
    2.20199999998449e-05 × 6371000     		dr = 140.289419999012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34135866--0.34131073) × cos(1.09353997) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.45934384296352 × 6371000     		do = 140.266168355265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34135866--0.34131073) × cos(1.09351795) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.459363402305207 × 6371000     		du = 140.272141035548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09353997)-sin(1.09351795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45934384296352-0.459363402305207)×R²
    abs(-0.34131073--0.34135866)×1.95593416862927e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.95593416862927e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.95593416862927e-05×40589641000000     		ar = 19678.2783567234m²