Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58410 / 39146
↖ ↑ ↗
← N 58.479337°
W 19.572144°		 ← 159.68 m → N 58.479337°
W 19.569397°		 →
↑
159.66 m
↓
↑
159.66 m
↓
N 58.477901°
W 19.572144°		 ← 159.68 m →
25 494 m²		 N 58.477901°
W 19.569397°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445636749267578 y=0.298664093017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445636749267578 × 217)
    floor (0.445636749267578 × 131072)
    floor (58410.5)     		tx = 58410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298664093017578 × 217)
    floor (0.298664093017578 × 131072)
    floor (39146.5)     		ty = 39146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58410 / 39146 ti = "17/58410/39146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58410/39146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58410 ÷ 217
    58410 ÷ 131072     		x = 0.445632934570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39146 ÷ 217
    39146 ÷ 131072     		y = 0.298660278320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445632934570312 × 2 - 1) × π
    -0.108734130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34159835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298660278320312 × 2 - 1) × π
    0.402679443359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.26505478097328
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34159835} λ = -0.34159835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26505478097328))-π/2
    2×atan(3.54328683549392)-π/2
    2×1.29572665490198-π/2
    2.59145330980396-1.57079632675     		φ = 1.02065698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34159835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.572144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02065698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.479337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58410 KachelY 39146 -0.34159835 1.02065698 -19.572144 58.479337
    Oben rechts KachelX + 1 58411 KachelY 39146 -0.34155041 1.02065698 -19.569397 58.479337
    Unten links KachelX 58410 KachelY + 1 39147 -0.34159835 1.02063192 -19.572144 58.477901
    Unten rechts KachelX + 1 58411 KachelY + 1 39147 -0.34155041 1.02063192 -19.569397 58.477901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02065698-1.02063192) × R
    2.50600000000212e-05 × 6371000     		dl = 159.657260000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02065698-1.02063192) × R
    2.50600000000212e-05 × 6371000     		dr = 159.657260000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34159835--0.34155041) × cos(1.02065698) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.522806020415347 × 6371000     		do = 159.678415661708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34159835--0.34155041) × cos(1.02063192) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.522827382690259 × 6371000     		du = 159.684940250331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02065698)-sin(1.02063192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522806020415347-0.522827382690259)×R²
    abs(-0.34155041--0.34159835)×2.13622749113407e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.13622749113407e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.13622749113407e-05×40589641000000     		ar = 25494.3391759374m²