Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58409 / 36238
↖ ↑ ↗
← N 62.413273°
W 19.574890°		 ← 141.41 m → N 62.413273°
W 19.572144°		 →
↑
141.44 m
↓
↑
141.44 m
↓
N 62.412001°
W 19.574890°		 ← 141.42 m →
20 001 m²		 N 62.412001°
W 19.572144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445629119873047 y=0.276477813720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445629119873047 × 217)
    floor (0.445629119873047 × 131072)
    floor (58409.5)     		tx = 58409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276477813720703 × 217)
    floor (0.276477813720703 × 131072)
    floor (36238.5)     		ty = 36238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58409 / 36238 ti = "17/58409/36238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58409/36238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58409 ÷ 217
    58409 ÷ 131072     		x = 0.445625305175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36238 ÷ 217
    36238 ÷ 131072     		y = 0.276473999023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445625305175781 × 2 - 1) × π
    -0.108749389648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.34164628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276473999023438 × 2 - 1) × π
    0.447052001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.40445528506841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34164628} λ = -0.34164628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40445528506841))-π/2
    2×atan(4.07330734552132)-π/2
    2×1.33005671612034-π/2
    2.66011343224068-1.57079632675     		φ = 1.08931711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34164628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.574890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08931711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.413273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58409 KachelY 36238 -0.34164628 1.08931711 -19.574890 62.413273
    Oben rechts KachelX + 1 58410 KachelY 36238 -0.34159835 1.08931711 -19.572144 62.413273
    Unten links KachelX 58409 KachelY + 1 36239 -0.34164628 1.08929491 -19.574890 62.412001
    Unten rechts KachelX + 1 58410 KachelY + 1 36239 -0.34159835 1.08929491 -19.572144 62.412001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08931711-1.08929491) × R
    2.22000000000833e-05 × 6371000     		dl = 141.43620000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08931711-1.08929491) × R
    2.22000000000833e-05 × 6371000     		dr = 141.43620000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34164628--0.34159835) × cos(1.08931711) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.46309072764443 × 6371000     		do = 141.410324667767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34164628--0.34159835) × cos(1.08929491) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.463110403631874 × 6371000     		du = 141.416332967235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08931711)-sin(1.08929491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46309072764443-0.463110403631874)×R²
    abs(-0.34159835--0.34164628)×1.96759874442343e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.96759874442343e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.96759874442343e-05×40589641000000     		ar = 20000.963858371m²