Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58408 / 39159
↖ ↑ ↗
← N 58.460665°
W 19.577637°		 ← 159.76 m → N 58.460665°
W 19.574890°		 →
↑
159.72 m
↓
↑
159.72 m
↓
N 58.459229°
W 19.577637°		 ← 159.77 m →
25 518 m²		 N 58.459229°
W 19.574890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445621490478516 y=0.298763275146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445621490478516 × 217)
    floor (0.445621490478516 × 131072)
    floor (58408.5)     		tx = 58408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298763275146484 × 217)
    floor (0.298763275146484 × 131072)
    floor (39159.5)     		ty = 39159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58408 / 39159 ti = "17/58408/39159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58408/39159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58408 ÷ 217
    58408 ÷ 131072     		x = 0.44561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39159 ÷ 217
    39159 ÷ 131072     		y = 0.298759460449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44561767578125 × 2 - 1) × π
    -0.1087646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34169422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298759460449219 × 2 - 1) × π
    0.402481079101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.26443160127822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34169422} λ = -0.34169422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26443160127822))-π/2
    2×atan(3.54107941896428)-π/2
    2×1.2955637105808-π/2
    2.5911274211616-1.57079632675     		φ = 1.02033109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34169422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.577637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02033109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.460665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58408 KachelY 39159 -0.34169422 1.02033109 -19.577637 58.460665
    Oben rechts KachelX + 1 58409 KachelY 39159 -0.34164628 1.02033109 -19.574890 58.460665
    Unten links KachelX 58408 KachelY + 1 39160 -0.34169422 1.02030602 -19.577637 58.459229
    Unten rechts KachelX + 1 58409 KachelY + 1 39160 -0.34164628 1.02030602 -19.574890 58.459229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02033109-1.02030602) × R
    2.50699999999604e-05 × 6371000     		dl = 159.720969999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02033109-1.02030602) × R
    2.50699999999604e-05 × 6371000     		dr = 159.720969999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34169422--0.34164628) × cos(1.02033109) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.523083798125975 × 6371000     		do = 159.763256124532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34169422--0.34164628) × cos(1.02030602) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.523105164652693 × 6371000     		du = 159.769782011766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02033109)-sin(1.02030602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.523083798125975-0.523105164652693)×R²
    abs(-0.34164628--0.34169422)×2.1366526717137e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.1366526717137e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.1366526717137e-05×40589641000000     		ar = 25518.0634002044m²