Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58407 / 39162
↖ ↑ ↗
← N 58.456355°
W 19.580383°		 ← 159.78 m → N 58.456355°
W 19.577637°		 →
↑
159.72 m
↓
↑
159.72 m
↓
N 58.454918°
W 19.580383°		 ← 159.79 m →
25 521 m²		 N 58.454918°
W 19.577637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445613861083984 y=0.298786163330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445613861083984 × 217)
    floor (0.445613861083984 × 131072)
    floor (58407.5)     		tx = 58407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298786163330078 × 217)
    floor (0.298786163330078 × 131072)
    floor (39162.5)     		ty = 39162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58407 / 39162 ti = "17/58407/39162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58407/39162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58407 ÷ 217
    58407 ÷ 131072     		x = 0.445610046386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39162 ÷ 217
    39162 ÷ 131072     		y = 0.298782348632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445610046386719 × 2 - 1) × π
    -0.108779907226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.34174216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298782348632812 × 2 - 1) × π
    0.402435302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.26428779057936
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34174216} λ = -0.34174216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26428779057936))-π/2
    2×atan(3.54057021047402)-π/2
    2×1.29552609575269-π/2
    2.59105219150539-1.57079632675     		φ = 1.02025586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34174216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.580383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02025586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.456355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58407 KachelY 39162 -0.34174216 1.02025586 -19.580383 58.456355
    Oben rechts KachelX + 1 58408 KachelY 39162 -0.34169422 1.02025586 -19.577637 58.456355
    Unten links KachelX 58407 KachelY + 1 39163 -0.34174216 1.02023079 -19.580383 58.454918
    Unten rechts KachelX + 1 58408 KachelY + 1 39163 -0.34169422 1.02023079 -19.577637 58.454918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02025586-1.02023079) × R
    2.50699999999604e-05 × 6371000     		dl = 159.720969999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02025586-1.02023079) × R
    2.50699999999604e-05 × 6371000     		dr = 159.720969999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34174216--0.34169422) × cos(1.02025586) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.523147913764629 × 6371000     		do = 159.782838691098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34174216--0.34169422) × cos(1.02023079) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.523169279304721 × 6371000     		du = 159.789364276991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02025586)-sin(1.02023079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.523147913764629-0.523169279304721)×R²
    abs(-0.34169422--0.34174216)×2.13655400921331e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.13655400921331e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.13655400921331e-05×40589641000000     		ar = 25521.1911228638m²