Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58406 / 39163
↖ ↑ ↗
← N 58.454918°
W 19.583130°		 ← 159.76 m → N 58.454918°
W 19.580383°		 →
↑
159.78 m
↓
↑
159.78 m
↓
N 58.453481°
W 19.583130°		 ← 159.76 m →
25 527 m²		 N 58.453481°
W 19.580383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445606231689453 y=0.298793792724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445606231689453 × 217)
    floor (0.445606231689453 × 131072)
    floor (58406.5)     		tx = 58406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298793792724609 × 217)
    floor (0.298793792724609 × 131072)
    floor (39163.5)     		ty = 39163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58406 / 39163 ti = "17/58406/39163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58406/39163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58406 ÷ 217
    58406 ÷ 131072     		x = 0.445602416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39163 ÷ 217
    39163 ÷ 131072     		y = 0.298789978027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445602416992188 × 2 - 1) × π
    -0.108795166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34179009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298789978027344 × 2 - 1) × π
    0.402420043945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.26423985367974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34179009} λ = -0.34179009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26423985367974))-π/2
    2×atan(3.54040049058319)-π/2
    2×1.29551355645214-π/2
    2.59102711290428-1.57079632675     		φ = 1.02023079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34179009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.583130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02023079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.454918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58406 KachelY 39163 -0.34179009 1.02023079 -19.583130 58.454918
    Oben rechts KachelX + 1 58407 KachelY 39163 -0.34174216 1.02023079 -19.580383 58.454918
    Unten links KachelX 58406 KachelY + 1 39164 -0.34179009 1.02020571 -19.583130 58.453481
    Unten rechts KachelX + 1 58407 KachelY + 1 39164 -0.34174216 1.02020571 -19.580383 58.453481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02023079-1.02020571) × R
    2.50800000001217e-05 × 6371000     		dl = 159.784680000775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02023079-1.02020571) × R
    2.50800000001217e-05 × 6371000     		dr = 159.784680000775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34179009--0.34174216) × cos(1.02023079) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.523169279304721 × 6371000     		do = 159.756033162039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34179009--0.34174216) × cos(1.02020571) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.523190653038156 × 6371000     		du = 159.76255988867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02023079)-sin(1.02020571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.523169279304721-0.523190653038156)×R²
    abs(-0.34174216--0.34179009)×2.1373733434471e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.1373733434471e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.1373733434471e-05×40589641000000     		ar = 25527.0880736288m²