Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58402 / 39165
↖ ↑ ↗
← N 58.452044°
W 19.594116°		 ← 159.80 m → N 58.452044°
W 19.591369°		 →
↑
159.85 m
↓
↑
159.85 m
↓
N 58.450607°
W 19.594116°		 ← 159.81 m →
25 545 m²		 N 58.450607°
W 19.591369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445575714111328 y=0.298809051513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445575714111328 × 217)
    floor (0.445575714111328 × 131072)
    floor (58402.5)     		tx = 58402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298809051513672 × 217)
    floor (0.298809051513672 × 131072)
    floor (39165.5)     		ty = 39165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58402 / 39165 ti = "17/58402/39165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58402/39165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58402 ÷ 217
    58402 ÷ 131072     		x = 0.445571899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39165 ÷ 217
    39165 ÷ 131072     		y = 0.298805236816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445571899414062 × 2 - 1) × π
    -0.108856201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34198184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298805236816406 × 2 - 1) × π
    0.402389526367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.2641439798805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34198184} λ = -0.34198184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2641439798805))-π/2
    2×atan(3.54006107520811)-π/2
    2×1.29548847631418-π/2
    2.59097695262835-1.57079632675     		φ = 1.02018063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34198184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.594116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02018063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.452044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58402 KachelY 39165 -0.34198184 1.02018063 -19.594116 58.452044
    Oben rechts KachelX + 1 58403 KachelY 39165 -0.34193390 1.02018063 -19.591369 58.452044
    Unten links KachelX 58402 KachelY + 1 39166 -0.34198184 1.02015554 -19.594116 58.450607
    Unten rechts KachelX + 1 58403 KachelY + 1 39166 -0.34193390 1.02015554 -19.591369 58.450607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02018063-1.02015554) × R
    2.50900000000609e-05 × 6371000     		dl = 159.848390000388m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02018063-1.02015554) × R
    2.50900000000609e-05 × 6371000     		dr = 159.848390000388m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34198184--0.34193390) × cos(1.02018063) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.5232120264425 × 6371000     		do = 159.802420352995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34198184--0.34193390) × cos(1.02015554) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.523233408039634 × 6371000     		du = 159.808950843123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02018063)-sin(1.02015554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5232120264425-0.523233408039634)×R²
    abs(-0.34193390--0.34198184)×2.13815971346065e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.13815971346065e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.13815971346065e-05×40589641000000     		ar = 25544.6815571813m²