Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 584 / 232
↖ ↑ ↗
← N 82.940327°
W128.671875°		 ← 1 201.13 m → N 82.940327°
W128.583984°		 →
↑
1 202.08 m
↓
↑
1 202.08 m
↓
N 82.929517°
W128.671875°		 ← 1 202.96 m →
1 444 954 m²		 N 82.929517°
W128.583984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1427001953125 y=0.0567626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1427001953125 × 212)
    floor (0.1427001953125 × 4096)
    floor (584.5)     		tx = 584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0567626953125 × 212)
    floor (0.0567626953125 × 4096)
    floor (232.5)     		ty = 232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 584 / 232 ti = "12/584/232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/584/232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 584 ÷ 212
    584 ÷ 4096     		x = 0.142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 232 ÷ 212
    232 ÷ 4096     		y = 0.056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.142578125 × 2 - 1) × π
    -0.71484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.24574787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.056640625 × 2 - 1) × π
    0.88671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.7857091107207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24574787} λ = -2.24574787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.7857091107207))-π/2
    2×atan(16.2113094151975)-π/2
    2×1.50918905607739-π/2
    3.01837811215479-1.57079632675     		φ = 1.44758179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24574787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.671875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44758179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.940327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 584 KachelY 232 -2.24574787 1.44758179 -128.671875 82.940327
    Oben rechts KachelX + 1 585 KachelY 232 -2.24421389 1.44758179 -128.583984 82.940327
    Unten links KachelX 584 KachelY + 1 233 -2.24574787 1.44739311 -128.671875 82.929517
    Unten rechts KachelX + 1 585 KachelY + 1 233 -2.24421389 1.44739311 -128.583984 82.929517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44758179-1.44739311) × R
    0.000188680000000163 × 6371000     		dl = 1202.08028000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44758179-1.44739311) × R
    0.000188680000000163 × 6371000     		dr = 1202.08028000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24574787--2.24421389) × cos(1.44758179) × R
    0.00153398000000005 × 0.122903003175518 × 6371000     		do = 1201.12940067607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24574787--2.24421389) × cos(1.44739311) × R
    0.00153398000000005 × 0.123090250544731 × 6371000     		du = 1202.95936670253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44758179)-sin(1.44739311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.122903003175518-0.123090250544731)×R²
    abs(-2.24421389--2.24574787)×0.000187247369213051×R²
    0.00153398000000005×0.000187247369213051×6371000²
    0.00153398000000005×0.000187247369213051×40589641000000     		ar = 1444953.85360289m²