Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58397 / 86693
↖ ↑ ↗
← S 50.129383°
W 19.607849°		 ← 195.80 m → S 50.129383°
W 19.605103°		 →
↑
195.78 m
↓
↑
195.78 m
↓
S 50.131143°
W 19.607849°		 ← 195.79 m →
38 332 m²		 S 50.131143°
W 19.605103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445537567138672 y=0.661418914794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445537567138672 × 217)
    floor (0.445537567138672 × 131072)
    floor (58397.5)     		tx = 58397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661418914794922 × 217)
    floor (0.661418914794922 × 131072)
    floor (86693.5)     		ty = 86693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58397 / 86693 ti = "17/58397/86693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58397/86693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58397 ÷ 217
    58397 ÷ 131072     		x = 0.445533752441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86693 ÷ 217
    86693 ÷ 131072     		y = 0.661415100097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445533752441406 × 2 - 1) × π
    -0.108932495117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.34222153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661415100097656 × 2 - 1) × π
    -0.322830200195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.01420098526153
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34222153} λ = -0.34222153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01420098526153))-π/2
    2×atan(0.362692110429306)-π/2
    2×0.347936775325889-π/2
    0.695873550651778-1.57079632675     		φ = -0.87492278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34222153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.607849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87492278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.129383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58397 KachelY 86693 -0.34222153 -0.87492278 -19.607849 -50.129383
    Oben rechts KachelX + 1 58398 KachelY 86693 -0.34217359 -0.87492278 -19.605103 -50.129383
    Unten links KachelX 58397 KachelY + 1 86694 -0.34222153 -0.87495351 -19.607849 -50.131143
    Unten rechts KachelX + 1 58398 KachelY + 1 86694 -0.34217359 -0.87495351 -19.605103 -50.131143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87492278--0.87495351) × R
    3.07299999999788e-05 × 6371000     		dl = 195.780829999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87492278--0.87495351) × R
    3.07299999999788e-05 × 6371000     		dr = 195.780829999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34222153--0.34217359) × cos(-0.87492278) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.6410561259614 × 6371000     		do = 195.795041653165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34222153--0.34217359) × cos(-0.87495351) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.641032540568031 × 6371000     		du = 195.787838066943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87492278)-sin(-0.87495351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6410561259614-0.641032540568031)×R²
    abs(-0.34217359--0.34222153)×2.35853933682195e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35853933682195e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35853933682195e-05×40589641000000     		ar = 38332.2106057321m²