Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58397 / 36272
↖ ↑ ↗
← N 62.369996°
W 19.607849°		 ← 141.64 m → N 62.369996°
W 19.605103°		 →
↑
141.63 m
↓
↑
141.63 m
↓
N 62.368723°
W 19.607849°		 ← 141.65 m →
20 061 m²		 N 62.368723°
W 19.605103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445537567138672 y=0.276737213134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445537567138672 × 217)
    floor (0.445537567138672 × 131072)
    floor (58397.5)     		tx = 58397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276737213134766 × 217)
    floor (0.276737213134766 × 131072)
    floor (36272.5)     		ty = 36272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58397 / 36272 ti = "17/58397/36272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58397/36272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58397 ÷ 217
    58397 ÷ 131072     		x = 0.445533752441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36272 ÷ 217
    36272 ÷ 131072     		y = 0.2767333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445533752441406 × 2 - 1) × π
    -0.108932495117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.34222153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2767333984375 × 2 - 1) × π
    0.446533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.40282543048132
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34222153} λ = -0.34222153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40282543048132))-π/2
    2×atan(4.06667385414125)-π/2
    2×1.32967905817087-π/2
    2.65935811634174-1.57079632675     		φ = 1.08856179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34222153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.607849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08856179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.369996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58397 KachelY 36272 -0.34222153 1.08856179 -19.607849 62.369996
    Oben rechts KachelX + 1 58398 KachelY 36272 -0.34217359 1.08856179 -19.605103 62.369996
    Unten links KachelX 58397 KachelY + 1 36273 -0.34222153 1.08853956 -19.607849 62.368723
    Unten rechts KachelX + 1 58398 KachelY + 1 36273 -0.34217359 1.08853956 -19.605103 62.368723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08856179-1.08853956) × R
    2.22299999999009e-05 × 6371000     		dl = 141.627329999369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08856179-1.08853956) × R
    2.22299999999009e-05 × 6371000     		dr = 141.627329999369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34222153--0.34217359) × cos(1.08856179) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.463760043816948 × 6371000     		do = 141.644254565131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34222153--0.34217359) × cos(1.08853956) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.463779738611978 × 6371000     		du = 141.650269862477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08856179)-sin(1.08853956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463760043816948-0.463779738611978)×R²
    abs(-0.34217359--0.34222153)×1.96947950300008e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96947950300008e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96947950300008e-05×40589641000000     		ar = 20061.1235498725m²