Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58396 / 81580
↖ ↑ ↗
← S 40.271144°
W 19.610596°		 ← 232.99 m → S 40.271144°
W 19.607849°		 →
↑
233.05 m
↓
↑
233.05 m
↓
S 40.273240°
W 19.610596°		 ← 232.98 m →
54 298 m²		 S 40.273240°
W 19.607849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445529937744141 y=0.622409820556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445529937744141 × 217)
    floor (0.445529937744141 × 131072)
    floor (58396.5)     		tx = 58396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622409820556641 × 217)
    floor (0.622409820556641 × 131072)
    floor (81580.5)     		ty = 81580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58396 / 81580 ti = "17/58396/81580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58396/81580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58396 ÷ 217
    58396 ÷ 131072     		x = 0.445526123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81580 ÷ 217
    81580 ÷ 131072     		y = 0.622406005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445526123046875 × 2 - 1) × π
    -0.10894775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34226946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622406005859375 × 2 - 1) × π
    -0.24481201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.769099617504181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34226946} λ = -0.34226946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.769099617504181))-π/2
    2×atan(0.463430144909329)-π/2
    2×0.433966137972887-π/2
    0.867932275945774-1.57079632675     		φ = -0.70286405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34226946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.610596°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70286405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.271144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58396 KachelY 81580 -0.34226946 -0.70286405 -19.610596 -40.271144
    Oben rechts KachelX + 1 58397 KachelY 81580 -0.34222153 -0.70286405 -19.607849 -40.271144
    Unten links KachelX 58396 KachelY + 1 81581 -0.34226946 -0.70290063 -19.610596 -40.273240
    Unten rechts KachelX + 1 58397 KachelY + 1 81581 -0.34222153 -0.70290063 -19.607849 -40.273240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70286405--0.70290063) × R
    3.65800000000638e-05 × 6371000     		dl = 233.051180000406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70286405--0.70290063) × R
    3.65800000000638e-05 × 6371000     		dr = 233.051180000406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34226946--0.34222153) × cos(-0.70286405) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.762993981224935 × 6371000     		do = 232.989390984771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34226946--0.34222153) × cos(-0.70290063) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.76297033519804 × 6371000     		du = 232.982170385996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70286405)-sin(-0.70290063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.762993981224935-0.76297033519804)×R²
    abs(-0.34222153--0.34226946)×2.36460268953076e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36460268953076e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36460268953076e-05×40589641000000     		ar = 54297.6111181721m²